Sejam alpha=[1,2],(0,1) e beta=(1,1,1),(1,1,0) bases de R^2 e Tbeta^alpha=binom1 21 1
(10) Calcule N(T)

Passo 1

O enunciado nos dá um operador linear Tcolon R^2toR^2 cujas bases no domínio e no contradomínio são
alpha=(1,2),(0,1) e beta=(1,1),(1,0)
e cuja matriz de T relativa a essas bases é
Tbeta^alpha = 1 & 2 1 & 1
Queremos calcular o núcleo de T, isto é
N(T)=,xinR^2mid T(x)=0

Passo 2

Seja xinR^2. Escrevemos x em coordenadas na base alpha como
x = u,(1,2) + v,(0,1),
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[x]alpha = u v

Passo 3

Pela definição da matriz de T, as coordenadas de T(x) na base beta são
[T(x)]beta = 1 & 2 1 & 1 u v = u + 2v u + v
Para ter T(x)=0 basta que [T(x)]beta=(0,0).

Passo 4

Resolvemos o sistema homogêneo
u + 2v = 0, u + v = 0
Subtraindo a segunda da primeira obtemos v=0. Substituindo em u+v=0 vem u=0.

Passo 5

A única solução é u=v=0, o que na base alpha significa x=0. Logo
N(T)=(0,0)

Resposta

N(T)=0

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