Sejam W1=(x, y, z) mid x=z e W2=(x, y, z) mid x+y+3 z=0
(15) Qual a dimensão de W1 cap W2?

Passo 1

O enunciado define subespaços de R^3:
W1=(x,y,z)mid x=z e W2=(x,y,z)mid x+y+3z=0.
O objetivo é encontrar dim(W1cap W2). Para isso, vamos resolver o sistema homogêneo dado pelas duas condições lineares e determinar a dimensão do espaço de soluções.

Passo 2

Escrevemos as duas equações que definem
São duas equações lineares homogêneas em (dimensão de ) menos o posto do sistema.

Passo 3

Montamos a matriz dos coeficientes e calculamos seu posto:
1 & 0 & -1 1 & 1 & 3
Linhas são linearmente independentes (não há múltiplo escalar entre elas), logo o posto é 2. Portanto o espaço solução tem dimensão
3 - 2 = 1

Passo 4

Opcionalmente, exibimos uma parametrização para confirmar que o espaço de soluções é uma reta: seja z=t. Da primeira equação vem x=t. Substituindo na segunda,
t + y + 3t = 0 Longrightarrow y = -4t
Assim
(x,y,z) = (t,-4t,t) = t,(1,-4,1),
mostrando explicitamente que W1cap W2=span(1,-4,1), de dimensão 1.

Resposta

dim(W1cap W2) = 1.

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