Se y=f(u) e u=g(x), onde f e g são funções duas vezes deriváveis, mostre que
d^2 yd x^2=d^2 yd u^2(d ud x)^2+d yd u d^2 ud x^2
onde d^2 yd x^2=dd x(d yd x).

Passo 1

O enunciado dá y=f(u) e u=g(x), com f e g duas vezes deriváveis, e pede a segunda derivada tfracd^2ydx^2. Para isso vamos usar a regra da cadeia para obter tfracdydx e depois a regra do produto para diferenciar novamente.

Passo 2

Primeiro aplicamos a regra da cadeia para achar a primeira derivada:
dydx =dydu,dudx

Passo 3

Agora calculamos a segunda derivada como derivada em x de tfracdydx. Como tfracdydx=(dy/du),(du/dx), usamos a regra do produto:
d^2ydx^2 =ddxl(dydur),dudx +dydu,d^2udx^2

Passo 4

Falta só computar tfracddx(dy/du). Novamente pela cadeia,
ddxl(dydur) =d^2ydu^2,dudx
Substituindo em (Passo 3) fica
d^2ydx^2 =l(d^2ydu^2,dudxr)dudx +dydu,d^2udx^2

Resposta

d^2ydx^2 =d^2ydu^2l(dudxr)^2 +dydu,d^2udx^2

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