Se
e
, onde
e
são funções duas vezes deriváveis, mostre que
onde
.
Passo 1
O enunciado dá
e
, com
e
duas vezes deriváveis, e pede a segunda derivada
. Para isso vamos usar a regra da cadeia para obter
e depois a regra do produto para diferenciar novamente.
Passo 2
Primeiro aplicamos a regra da cadeia para achar a primeira derivada:
Passo 3
Agora calculamos a segunda derivada como derivada em
de
. Como
, usamos a regra do produto:
Passo 4
Falta só computar
. Novamente pela cadeia,
Substituindo em (Passo 3) fica