Um ônibus diário de Apucarana para Londrina tem horário de chegada em Londrina às 8:07 da manhã, em todos os dias de semana. A probabilidade de que o ônibus chegue no horário é 0,90. Suponha que 20 dias sejam selecionados aleatoriamente.
b. Ache a probabilidade de que o ônibus chegue no horário em, no máximo, 15 desses dias.
b. Ache a probabilidade de que o ônibus chegue no horário em, no máximo, 15 desses dias.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um ônibus que chega no horário em Londrina às 8:07 da manhã com uma probabilidade de 0,90 em qualquer dia de semana. Queremos descobrir a probabilidade de, em 20 dias escolhidos aleatoriamente, o ônibus chegue no horário em no máximo 15 desses dias.
Para resolver isso, vamos usar probabilidade binomial, que é ideal para situações onde temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possíveis outcomes (sucesso ou fracasso). Aqui, “sucesso” é o ônibus chegar no horário.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os parâmetros da distribuição binomial:
- $ n = 20 $ (número de dias)
- $ p = 0,90 $ (probabilidade de sucesso em um dia)
Queremos a probabilidade de ter no máximo 15 sucessos, ou seja, $ P(X \leq 15) $.
Passo 3
A fórmula da distribuição binomial é:
Onde:
- $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher $ k $ sucessos em $ n $ tentativas.
- $ p^k $ é a probabilidade de $ k $ sucessos.
- $ (1-p)^{n-k} $ é a probabilidade dos $ n-k $ fracassos.
Passo 4
Para encontrar $ P(X \leq 15) $, precisamos somar as probabilidades de ter 0, 1, 2, …, até 15 sucessos:
Passo 5
Calculando cada termo individualmente seria trabalhoso, então podemos usar uma calculadora de distribuição binomial ou uma função estatística. Muitos softwares de estatística ou calculadoras científicas têm essa função.
Passo 6
Usando uma calculadora ou software, calculamos $ P(X \leq 15) $ com $ n = 20 $, $ p = 0,90 $ e $ k = 15 $. O resultado dessa soma é aproximadamente 0,047.
Resposta
A probabilidade de que o ônibus chegue no horário em, no máximo, 15 dos 20 dias selecionados é aproximadamente 4,7%.