Um ônibus diário de Apucarana para Londrina tem horário de chegada em Londrina às 8:07 da manhã, em todos os dias de semana. A probabilidade de que o ônibus chegue no horário é 0,90. Suponha que 20 dias sejam selecionados aleatoriamente.
b. Ache a probabilidade de que o ônibus chegue no horário em, no máximo, 15 desses dias.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um ônibus que chega no horário em Londrina às 8:07 da manhã com uma probabilidade de 0,90 em qualquer dia de semana. Queremos descobrir a probabilidade de, em 20 dias escolhidos aleatoriamente, o ônibus chegue no horário em no máximo 15 desses dias.
Para resolver isso, vamos usar probabilidade binomial, que é ideal para situações onde temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possíveis outcomes (sucesso ou fracasso). Aqui, “sucesso” é o ônibus chegar no horário.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os parâmetros da distribuição binomial:
  • $ n = 20 $ (número de dias)
  • $ p = 0,90 $ (probabilidade de sucesso em um dia)
Queremos a probabilidade de ter no máximo 15 sucessos, ou seja, $ P(X \leq 15) $.

Passo 3

A fórmula da distribuição binomial é:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Onde:
  • $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher $ k $ sucessos em $ n $ tentativas.
  • $ p^k $ é a probabilidade de $ k $ sucessos.
  • $ (1-p)^{n-k} $ é a probabilidade dos $ n-k $ fracassos.

Passo 4

Para encontrar $ P(X \leq 15) $, precisamos somar as probabilidades de ter 0, 1, 2, …, até 15 sucessos:
P(X <= 15)

Passo 5

Calculando cada termo individualmente seria trabalhoso, então podemos usar uma calculadora de distribuição binomial ou uma função estatística. Muitos softwares de estatística ou calculadoras científicas têm essa função.

Passo 6

Usando uma calculadora ou software, calculamos $ P(X \leq 15) $ com $ n = 20 $, $ p = 0,90 $ e $ k = 15 $. O resultado dessa soma é aproximadamente 0,047.

Resposta

A probabilidade de que o ônibus chegue no horário em, no máximo, 15 dos 20 dias selecionados é aproximadamente 4,7%.

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