(Opcional - 0 pontos) Seja X uma v.a. contínua com f.d.p. dada por
f(x)=c(1-x^2) I[-1,1](x), c in R, forall x in R
Determine E(X) e Var(X).

Passo 1

O enunciado nos dá uma v.a. contínua X com densidade
f(x)=c,(1-x^2),I[-1,1](x),
e pede E(X) e Var(X).
Para isso precisamos de três coisas:
  1. Determinar a constante de normalização c via integral-1^1f(x),dx=1.
  2. Calcular E(X)=integral-1^1x,f(x),dx.
  3. Calcular Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2, em que E(X^2)=integral-1^1x^2,f(x),dx.

Passo 2

Impondo a normalização,
integral-1^1c,(1-x^2),dx=1
Calculamos primeiro
integral-1^1(1-x^2),dx =l[x-tfracx^33r]-1^1 =(1-tfrac13)-(-1+tfrac13) =tfrac23 -(-tfrac23) =tfrac43
Logo
ccdottfrac43=1 Longrightarrow c=tfrac34

Passo 3

Para a esperança,
E(X) =integral-1^1x,f(x),dx =tfrac34integral-1^1x,(1-x^2),dx
Como xmapsto x(1-x^2) é função ímpar e o intervalo é simétrico, a integral vale zero.
Portanto
E(X)=0

Passo 4

Agora E(X^2):
E(X^2) =integral-1^1x^2,f(x),dx =tfrac34integral-1^1(x^2 - x^4),dx
Como x^2-x^4 é par, escrevemos
integral-1^1(x^2 - x^4),dx =2integral0^1(x^2 - x^4),dx =2l[tfracx^33-tfracx^55r]0^1 =2l(tfrac13-tfrac15r) =2cdottfrac215 =tfrac415
Logo
E(X^2) =tfrac34cdottfrac415 =tfrac315 =tfrac15

Passo 5

Finalmente,
Var(X) =E(X^2)-[E(X)]^2 =tfrac15-0^2 =tfrac15

Resposta

E(X)=0
Var(X)=tfrac15

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