Operações com complexos:
Se z=1-2 i e w=-3+4 i, calcule z \cdot w e z^{-1}.

Passo 1

O enunciado dá dois números complexos
z = 1 - 2i
e
w = -3 + 4i
e pede para calcular o produto z \cdot w e o inverso z^{-1}. Para isso vamos usar a definição de multiplicação de complexos e a fórmula
z^{-1} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}.

Passo 2

Para o produto z\cdot w, se escrevemos z = a + bi e w = c + di, então
z\cdot w = (ac - bd) + (ad + bc)\,i.
Aqui a=1, b=-2, c=-3 e d=4. Logo
ac - bd = 1\cdot(-3) - (-2)\cdot4 = -3 + 8 = 5,
ad + bc = 1\cdot4 + (-2)\cdot(-3) = 4 + 6 = 10.
Portanto
z\cdot w = 5 + 10i.

Passo 3

Para o inverso de z, primeiro calculamos o módulo ao quadrado:
|z|^2 = 1^2 + (-2)^2 = 1 + 4 = 5.
O conjugado de z é
\overline{z} = 1 + 2i.
Assim
z^{-1} = \frac{\overline{z}}{|z|^2} = \frac{1 + 2i}{5} = \frac{1}{5} + \frac{2}{5}i.

Resposta

z\cdot w = 5 + 10i z^{-1} = \tfrac{1}{5} + \tfrac{2}{5}i

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