1. Resolva a inequação: \left(x^{2}-4\right)(x+1) \geq 0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
(x^{2}-4)(x+1)\ge 0.
O conteúdo envolve inequações de produto de fatores polinomiais: primeiro identificamos as raízes de cada fator e depois fazemos a análise de sinais em cada intervalo determinado por essas raízes.

Passo 2

Encontrar as raízes de cada fator:
– Para x^{2}-4=0 temos
x^{2}=4\quad\Longrightarrow\quad x=\pm2.
– Para x+1=0 temos
x=-1.

Passo 3

Colocamos essas raízes em ordem crescente na reta real: -2,\,-1,\,2. Isso define quatro intervalos: (-\infty,-2), (-2,-1), (-1,2) e (2,\infty).
Em cada intervalo, avaliamos o sinal de cada fator:
– Fator x^{2}-4: é positivo se |x|>2 e negativo se |x|<2.
– Fator x+1: é negativo para x<-1 e positivo para x>-1.
Tabela de sinais resumida: \begin{array}{c|c|c|c} \text{Intervalo} & x^{2}-4 & x+1 & (x^{2}-4)(x+1)\\hline (-\infty,-2) & + & - & -\\\ \{-2\} & 0 & - & 0\\\ (-2,-1) & - & - & +\\\ \{-1\} & - & 0 & 0\\\ (-1,2) & - & + & -\\\ \{2\} & 0 & + & 0\\\ (2,\infty) & + & + & + \end{array} Queremos (x^{2}-4)(x+1)\ge0, ou seja, regiões onde o produto é positivo ou zero.

Passo 4

Das análises acima, o produto é >=0 em
– pontos onde o produto é zero: x=-2,\,-1,\,2;
– intervalos onde o produto é positivo: (-2,-1) e (2,\infty).
Portanto, juntando tudo:

Resposta

[-2,-1]\;\cup\;[2,\infty).

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