Com as operações padrão do espaço euclidiano R^n, verifique se os conjuntos abaixo são subespaços dos respectivos espaços vetoriais.
a) F=(x, y) in R^2 ; y=0 subset R^2
b) G=(x, y, z) in R^3 ; z=0 subset R^3

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
F=(x,y)inR^2mid y=0 em R^2
e
G=(x,y,z)inR^3mid z=0 em R^3
são subespaços. Para isso usamos os critérios de subespaço:
  1. conter o vetor zero,
  2. ser fechado sob soma,
  3. ser fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificação para F:
  1. O vetor zero é (0,0) e satisfaz y=0, logo (0,0)in F.
  2. Se (x1,0)in F e (x2,0)in F, então
(x1,0)+(x2,0)=(x1+x2,0)in F
  1. Se cinR e (x,0)in F, então
c,(x,0)=(c,x,0)in F
Portanto F satisfaz todos os critérios e é subespaço de R^2.

Passo 3

Verificação para G:
  1. O vetor zero é (0,0,0) e satisfaz z=0, logo (0,0,0)in G.
  2. Se (x1,y1,0)in G e (x2,y2,0)in G, então
(x1,y1,0)+(x2,y2,0)=(x1+x2,,y1+y2,,0)in G
  1. Se cinR e (x,y,0)in G, então
c,(x,y,0)=(c,x,,c,y,,0)in G
Logo G também satisfaz todos os critérios e é subespaço de R^3.

Resposta

Ambos os conjuntos F e G são subespaços dos seus respectivos espaços vetoriais.

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