Verifique se os conjuntos abaixo geram os respectivos espaços vetoriais.
a) X=v1, v2, v3, v4 subset R^4, onde
v1=(-1,0,0,0), v2=(1,0,0,0), v3=(1,2,2,0), v4=(1,1,3,-1)
b) X=v1, v2, v3, v4 subset M(2 times 2), onde
v1=[ll 1 & 0 0 & 0 ] v2=[ll 0 & 1 0 & 0 ] v3=[ll 0 & 0 1 & 0 ] v4=[ll 0 & 0 0 & 1 ]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se cada conjunto X gera o espaço vetorial em questão. Em (a) temos quatro vetores em R^4 (que é de dimensão 4) e em (b) quatro matrizes em M(2times2) (também de dimensão 4). Para decidir se geram o espaço, vamos usar o fato de que um conjunto de n vetores em um espaço de dimensão n gera o espaço se, e somente se, for linearmente independente (ou equivalentemente, se for um sistema de geradores cuja cardinalidade não ultrapasse a dimensão).

Passo 2

Para (a), observamos diretamente que
logo
Isso mostra que
Escrevendo coordenada a coordenada obtemos o sistema
Da última equação , e então . Portanto são linearmente independentes, mas são apenas três vetores. Logo o span tem dimensão 3, que é menor que 4, e não se obtém todo .

Passo 3

Conclusão para (a): como o maior número de vetores linearmente independentes em X é 3, não alcançamos a dimensão 4 de R^4. Logo X não gera R^4.

Passo 4

Para (b), note que v1,v2,v3,v4 são as matrizes-canônicas
v1=E11,; v2=E12,; v3=E21,; v4=E22
Qualquer matriz
A=a & b c & d
em M(2times2) pode ser escrita como
A = a,v1 + b,v2 + c,v3 + d,v4
Isso mostra que elas geram o espaço. Além disso são quatro vetores em um espaço de dimensão 4 e são claramente independentes, formando uma base.

Resposta

a) X não gera R^4.
b) X gera M(2times2).

Exercícios relacionados