Verifique se os conjuntos abaixo geram os respectivos espaços vetoriais.
a) , onde
b) , onde
Passo 1
O enunciado pede para verificar se cada conjunto X gera o espaço vetorial em questão. Em (a) temos quatro vetores em R^4 (que é de dimensão 4) e em (b) quatro matrizes em M(2times2) (também de dimensão 4). Para decidir se geram o espaço, vamos usar o fato de que um conjunto de n vetores em um espaço de dimensão n gera o espaço se, e somente se, for linearmente independente (ou equivalentemente, se for um sistema de geradores cuja cardinalidade não ultrapasse a dimensão).
Passo 2
Para (a), observamos diretamente que
logo
Isso mostra que
Escrevendo coordenada a coordenada obtemos o sistema
Da última equação , e então . Portanto são linearmente independentes, mas são apenas três vetores. Logo o span tem dimensão 3, que é menor que 4, e não se obtém todo .
Passo 3
Conclusão para (a): como o maior número de vetores linearmente independentes em X é 3, não alcançamos a dimensão 4 de R^4. Logo Xnão gera R^4.
Passo 4
Para (b), note que v1,v2,v3,v4 são as matrizes-canônicas
v1=E11,; v2=E12,; v3=E21,; v4=E22
Qualquer matriz A=a & b c & d
em M(2times2) pode ser escrita como
A = a,v1 + b,v2 + c,v3 + d,v4
Isso mostra que elas geram o espaço. Além disso são quatro vetores em um espaço de dimensão 4 e são claramente independentes, formando uma base.