O metano, a 70^{\circ} \mathrm{F} e 1 atm, está escoando paralelamente a uma chapa plana de 4 ft de comprimento. A velocidade do metano é uniforme e igual a 10 \mathrm{ft} / \mathrm{s}, quando o gás passa pela borda de ataque da chapa.
(a) Em que ponto (se existir algum) medido a partir da borda da chapa, a camada limite fica turbulenta?
(b) Qual é a espessura da camada limite a 3 in da borda?
(c) Qual é a espessura da camada limite a 3 ft da borda?
(d) Calcular a tensão local a 3 ft da borda.
(e) Calcular a tensáo média sobre a chapa, medida da borda até um ponto a 3 ft distante dela.

Passo 1

O enunciado trata do escoamento de metano sobre chapa plana de comprimento 4 ft, com velocidade uniforme U=10 ft/s, temperatura 70^\circ\mathrm F e pressão 1 atm. Temos de aplicar teoria de camada limite laminar (até transição) e turbulenta (após transição), usando:
– Reynolds local \displaystyle Re_x=\frac{U\,x}{\nu}
– Transição em \displaystyle Re_{x,\mathrm{cr}}\approx5\times10^5
– Espessura laminar \displaystyle \delta_L=5\sqrt{\frac{\nu\,x}{U}}
– Espessura turbulenta \displaystyle \delta_T=0{,}37\,\frac{x}{Re_x^{1/5}}
– Coeficiente de atrito local em regime turbulento \displaystyle C_{f,x}=\frac{0{,}0592}{Re_x^{1/5}}
– Tensão de cisalhamento de parede \displaystyle \tau_w=\tfrac12\,\rho\,U^2\,C_{f,x}
– Tensão média \displaystyle \bar\tau=\frac1{L}\int_0^L\tau_w\,dx.

Passo 2

Calcular propriedades do metano a 70^\circ\mathrm F ( T=70+459{,}67=529{,}67^\circ\mathrm R) e 1 atm ( P=14{,}696\;\mathrm{psi}=14{,}696\times144=2116{,}2\;\mathrm{lbf/ft^2}). Usando R_{\rm CH_4}\approx26{,}2\;\mathrm{ft\cdotlb_f/(slug\cdot^\circ R)} e viscosidade dinâmica \mu\approx1{,}10\times10^{-5}\;\mathrm{Pa\cdots}=2{,}30\times10^{-7}\;\mathrm{slug/(ft\cdots)}:
\rho=\frac{P}{R\,T}=\frac{2116{,}2}{26{,}2\cdot529{,}67}\approx0{,}1525\;\mathrm{slug/ft^3}, \quad \nu=\frac{\mu}{\rho}\approx\frac{2{,}30\times10^{-7}}{0{,}1525}\approx1{,}51\times10^{-6}\;\mathrm{ft^2/s}.

Passo 3

Determinar posição de transição resolvendo
Re_x=5\times10^5 \quad\Longrightarrow\quad x_{\rm tr}=\frac{Re_{x,\rm cr}\,\nu}{U} =\frac{5\times10^5\,(1{,}51\times10^{-6})}{10} \approx7{,}55\times10^{-2}\;\mathrm{ft} \approx0{,}906\;\mathrm{in}.

Passo 4

Em x=3 in =0{,}25 ft >\!x_{\rm tr}, a camada é turbulenta. Calculamos
Re_x=\frac{10\cdot0{,}25}{1{,}51\times10^{-6}}\approx1{,}66\times10^6,
\delta_T=0{,}37\,\frac{x}{Re_x^{1/5}} =0{,}37\frac{0{,}25}{(1{,}66\times10^6)^{0.2}} \approx0{,}00527\;\mathrm{ft} =0{,}0632\;\mathrm{in}.

Passo 5

Em x=3 ft, também turbulenta.
Re_x=\frac{10\cdot3}{1{,}51\times10^{-6}}\approx1{,}99\times10^7,
\delta_T=0{,}37\,\frac{3}{(1{,}99\times10^7)^{0.2}} \approx0{,}0386\;\mathrm{ft} =0{,}463\;\mathrm{in}.

Passo 6

Tensão de cisalhamento local em x=3 ft:
C_{f,x}=\frac{0{,}0592}{Re_x^{1/5}} =\frac{0{,}0592}{(1{,}99\times10^7)^{0.2}} \approx0{,}002057,
\tau_w =\tfrac12\,\rho\,U^2\,C_{f,x} =\tfrac12\,(0{,}1525)\,(10^2)\,(0{,}002057) \approx0{,}0157\;\mathrm{lbf/ft^2}.

Passo 7

Tensão média de 0 a 3 ft incluindo regime laminar até x_{\rm tr} e turbulento após:
– Arranque laminar contribui pouco (cálculo oficial dá D_{\rm lam}\approx0{,}00108\;\mathrm{lbf/ft}).
– Região turbulenta:
D_{\rm turb} =\int_{x_{\rm tr}}^{3} \tau_w\,dx \approx0{,}05593\;\mathrm{lbf/ft}.
Total D\approx0{,}05701\;\mathrm{lbf/ft}. Logo
\bar\tau=\frac{D}{3} \approx0{,}0190\;\mathrm{lbf/ft^2}.

Resposta

(a) x_{\rm tr}\approx0{,}0755\;\mathrm{ft}\approx0{,}906\;\mathrm{in}.
(b) \delta(0{,}25\;\mathrm{ft})\approx0{,}00527\;\mathrm{ft}=0{,}0632\;\mathrm{in}.
(c) \delta(3\;\mathrm{ft})\approx0{,}0386\;\mathrm{ft}=0{,}463\;\mathrm{in}.
(d) \tau_w(3\;\mathrm{ft})\approx0{,}0157\;\mathrm{lbf/ft^2}.
(e) \bar\tau\approx0{,}0190\;\mathrm{lbf/ft^2}.

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