Qual é a queda de pressão quando o ar atmosférico, a 50^{\circ} \mathrm{C} e sob pressão de 1 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2}, escoa através de um duto retangular com 0,01 \mathrm{~m} por 0,005 \mathrm{~m}, e 10 m de comprimento, com a vazáo de 1 \times 10^{-3} \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} ?

Passo 1

O enunciado pede a queda de pressão quando ar a 50^\circ\mathrm{C} e 1\\ \mathrm{atm} escoa em regime permanente por um duto retangular de dimensões internas 0,01\\ \mathrm{m}\times0,005\\ \mathrm{m}, comprimento L=10\\ \mathrm{m} e vazão volumétrica Q=1\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}. Vamos usar o método de Darcy–Weisbach, que requer: área da secção, velocidade média, diâmetro hidráulico, densidade, número de Reynolds, fator de atrito e finalmente \Delta p.

Passo 2

Calcular a área da seção e a velocidade média:
A = a\,b = 0,01\cdot0,005 = 5\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^2,
v = \frac{Q}{A} = \frac{1\times10^{-3}}{5\times10^{-5}} = 20\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Calcular o diâmetro hidráulico:
P = 2(a+b) = 2(0,01+0,005) = 0,03\\ \mathrm{m},
D_h = \frac{4A}{P} = \frac{4\cdot5\times10^{-5}}{0,03} \approx 0,00667\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Obter a densidade do ar a 50^\circ\mathrm{C} ( T=323\\ \mathrm{K}) e P=1\\ \mathrm{atm}=1\times10^5\\ \mathrm{Pa}, usando R=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}:
\rho = \frac{P}{R\,T} = \frac{1\times10^5}{287\cdot323}\approx1,08\\ \mathrm{kg/m}^3.

Passo 5

Calcular o número de Reynolds, usando viscosidade dinâmica do ar \mu\approx1{,}9\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}:
\mathrm{Re} = \frac{\rho\,v\,D_h}{\mu} = \frac{1,08\cdot20\cdot0,00667}{1{,}9\times10^{-5}} \approx7,6\times10^3.

Passo 6

Como \mathrm{Re}\approx7{,}6\times10^3>2300, o escoamento é turbulento. Aproximamos o fator de atrito de Darcy pela fórmula de Blasius para tubos lisos:
f = 0,3164\,\mathrm{Re}^{-0,25} \approx0,3164\,(7,6\times10^3)^{-0,25} \approx0,034.

Passo 7

Aplicar a equação de Darcy–Weisbach para a queda de pressão:
\Delta p = f\,\frac{L}{D_h}\,\frac{\rho\,v^2}{2}.
Substituindo valores:
\frac{L}{D_h} = \frac{10}{0,00667}\approx1500, \quad \frac{\rho\,v^2}{2} = \frac{1,08\cdot20^2}{2} = 216\\ \mathrm{Pa},
\Delta p = 0,034\cdot1500\cdot216 \approx1,10\times10^4\\ \mathrm{Pa}.

Resposta

A queda de pressão é aproximadamente \displaystyle 1{,}1\times10^4\\ \mathrm{Pa}.

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