Sejam
e
subconjuntos do espaço vetorial
M(2 times 2) . Verifique se
M(2 times 2)=F1 oplus F2 .
subconjuntos do espaço vetorial
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
ou seja, se todo
Ain M(2times2) pode ser escrito de forma única como
A=U+V com
Uin F1 e
Vin F2 . Para isso precisamos checar duas coisas:
-
.F1+F2=M(2times2) -
.F1cap F2=0
Passo 2
Mostrando que
F1+F2=M(2times2) .
Seja uma matriz arbitrária
Seja uma matriz arbitrária
Podemos escrever
De fato,
0 & b c & 0in F1 e
a & 0 0 & din F2 , e sua soma é exatamente
A . Logo
F1+F2 contém toda
M(2times2) .
Passo 3
Mostrando que
F1cap F2neq0 .
Uma matrizX em
F1cap F2 deve ter a forma
Uma matriz
Para satisfazer os dois formatos, é preciso
y=0 ,
z=0 e também
w=0 , mas
x (igual a
x' ) fica livre. Logo
que não é apenas
0 .
Resposta
Não,
M(2times2)neq F1oplus F2 , pois embora
F1+F2=M(2times2) , temos
F1cap F2neq0 .