Sejam
F1=a in M(2 times 2) ; a=[ccx & y z & 0] e F2=b in M(2 times 2) ; b=[ccx & 0 0 & w]
subconjuntos do espaço vetorial M(2 times 2). Verifique se M(2 times 2)=F1 oplus F2.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
M(2times2)=F1oplus F2,
ou seja, se todo Ain M(2times2) pode ser escrito de forma única como A=U+V com Uin F1 e Vin F2. Para isso precisamos checar duas coisas:
  1. F1+F2=M(2times2).
  2. F1cap F2=0.

Passo 2

Mostrando que F1+F2=M(2times2).
Seja uma matriz arbitrária
A=a & b c & din M(2times2)
Podemos escrever
A =underbrace0 & b c & 0in F1 +underbracea & 0 0 & din F2
De fato, 0 & b c & 0in F1 e a & 0 0 & din F2, e sua soma é exatamente A. Logo F1+F2 contém toda M(2times2).

Passo 3

Mostrando que F1cap F2neq0.
Uma matriz X em F1cap F2 deve ter a forma
Xin F1implies X=x & y z & 0, Xin F2implies X=x' & 0 0 & w
Para satisfazer os dois formatos, é preciso y=0, z=0 e também w=0, mas x (igual a x') fica livre. Logo
F1cap F2 =x & 0 0 & 0:xinR,
que não é apenas 0.

Resposta

Não, M(2times2)neq F1oplus F2, pois embora F1+F2=M(2times2), temos F1cap F2neq0.

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