Quais dos seguintes conjuntos formam uma base para o espaço vetorial R^3 (Justifique!):
& B 1=(1,2,0),(0,1,-1) & B2=(1,1,-1),(2,3,4),(4,1,-1),(0,1,-1) & B3=(1,2,2),(-1,2,1),(0,8,0) & B4=(1,2,2),(-1,2,1),(0,8,6)

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar quais conjuntos de vetores em R^3 são base. Para isso precisamos usar a definição de base: um conjunto é base se e somente se é linearmente independente e gera R^3. Em particular, em R^3 toda base tem exatamente 3 vetores.

Passo 2

B1 tem 2 vetores e portanto não pode gerar R^3. B2 tem 4 vetores e, em um espaço de dimensão 3, qualquer conjunto com mais de 3 vetores é necessariamente L.D. Logo nem B1 nem B2 são base.

Passo 3

Para B3=(1,2,2),(-1,2,1),(0,8,0), formamos a matriz cujas colunas são esses vetores:
M= 1 & -1 & 0 2 & 2 & 8 2 & 1 & 0
Calculando o determinante:
det(M) =1cdot(2cdot0 - 8cdot1) -(-1)cdot(2cdot0 - 8cdot2) +0cdot(dots) =-8 -16 =-24neq0
Como det(M)neq0, os vetores são L.I. e, sendo três vetores L.I. em R^3, geram todo o espaço. Logo B3 é base.

Passo 4

Para B4=(1,2,2),(-1,2,1),(0,8,6), montamos
N= 1 & -1 & 0 2 & 2 & 8 2 & 1 & 6
e
det(N) =1cdot(2cdot6 - 8cdot1) -(-1)cdot(2cdot6 - 8cdot2) +0cdot(dots) =4 -4 =0
Como det(N)=0, os vetores são L.D. e não formam base.

Resposta

Apenas B3 forma uma base de R^3.

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