Seja
o subespaço de
gerado pelos vetores
(c) Encontre uma base ortogonal para
.
Passo 1
O enunciado pede uma base ortogonal para o subespaço
gerado por
O método usado será o processo de Gram–Schmidt, que, a partir de um conjunto gerador, produz vetores mutuamente ortogonais.
Passo 2
Observamos que
e
são combinações lineares de
e
. De fato,
Logo
, e basta aplicar Gram–Schmidt em
.
Passo 3
Definimos
Em seguida calculamos
A projeção de
sobre
é
Passo 4
Definimos
Então
e
são ortogonais, pois por construção
.
Passo 5
Para evitar frações, podemos escalar
por
, obtendo
Verificamos rapidamente
confirmando a ortogonalidade.
Resposta
Uma base ortogonal para
é