Seja W o subespaço de R^4 gerado pelos vetores
V1=(1,2,0,1), V2=(0,1,1,-1), V3=(2,6,2,0) e V4=(-1,1,3,-4)
(c) Encontre uma base ortogonal para W.

Passo 1

O enunciado pede uma base ortogonal para o subespaço WsubsetR^4 gerado por
V1=(1,2,0,1), V2=(0,1,1,-1), V3=(2,6,2,0), V4=(-1,1,3,-4)
O método usado será o processo de Gram–Schmidt, que, a partir de um conjunto gerador, produz vetores mutuamente ortogonais.

Passo 2

Observamos que V3 e V4 são combinações lineares de V1 e V2. De fato,
V3=2,V1+2,V2, V4=-1,V1+3,V2
Logo spanV1,V2,V3,V4=spanV1,V2, e basta aplicar Gram–Schmidt em V1,V2.

Passo 3

Definimos
u1=V1=(1,2,0,1)
Em seguida calculamos
lang<= u1,u1rang<==1^2+2^2+0^2+1^2=6, lang<= V2,u1rang<==0cdot1+1cdot2+1cdot0+(-1)cdot1=1
A projeção de V2 sobre u1 é
proju1(V2) =lang<= V2,u1rang<=lang<= u1,u1rang<=,u1 =16,(1,2,0,1) =(tfrac16,tfrac13,0,tfrac16)

Passo 4

Definimos
u2 =V2-proju1(V2) =(0,1,1,-1)-(tfrac16,tfrac13,0,tfrac16) =( -tfrac16,;tfrac23,;1,;-tfrac76 )
Então u1 e u2 são ortogonais, pois por construção lang<= u2,u1rang<==0.

Passo 5

Para evitar frações, podemos escalar u2 por 6, obtendo
u2'=6,u2=(-1,4,6,-7)
Verificamos rapidamente
lang<= u1,u2'rang<= =1cdot(-1)+2cdot4+0cdot6+1cdot(-7) =-1+8-7=0,
confirmando a ortogonalidade.

Resposta

Uma base ortogonal para W é
, (1,2,0,1),;(-1,4,6,-7)

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