(Operações vetoriais e suas identidades) Verifique a validade das identidades vetoriais a seguir. Utilize notação indicial para realizar todos os cálculos e considere que a é um número real.
\vec{A} cdot(\vec{B} pm \vec{C})=\vec{A} cdot \vec{B} pm \vec{A} cdot \vec{C}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a validade da identidade
\vec{A}\cdot(\vec{B}\pm\vec{C})=\vec{A}\cdot\vec{B}\pm\vec{A}\cdot\vec{C}.
Informações dadas e úteis:
  • São vetores \vec{A}, \vec{B}, \vec{C}.
  • Foi dito que a é um número real (não será necessário para esta identidade, mas servirá para um exemplo extra).
  • A verificação deve ser feita usando notação indicial (componentes e convenção de soma de Einstein).
    Não vou resolver nada ainda — apenas organizei o que o problema pede e quais dados tenho.

Passo 2

Vou explicar a notação que vou usar (bem devagarinho, passo a passo).
  • Denoto as componentes dos vetores por A_i, B_i, C_i, com i=1,2,3 (ou o número de dimensões do espaço).
  • Convenção de soma de Einstein: quando um índice aparece repetido (ex.: A_i B_i), isso significa soma sobre i:
A_i B_i \equiv \sum_{i=1}^{3} A_i B_i.
  • Produto escalar em notação indicial: a definição é
\vec{A}\cdot\vec{B}=A_i B_i.
  • Soma de vetores é componente a componente:
(\vec{B}\pm\vec{C})_i = B_i \pm C_i.
Esses são os conceitos básicos que uso nas contas.

Passo 3

Agora escrevo o membro esquerdo da identidade usando notação indicial, substituindo a componente da soma:
\vec{A}\cdot(\vec{B}\pm\vec{C}) = A_i(\vec{B}\pm\vec{C})_i.
Usando a expressão componente da soma:
A_i(\vec{B}\pm\vec{C})_i = A_i\bigl(B_i \pm C_i\bigr).

Passo 4

Aplico a propriedade distributiva da multiplicação sobre a soma (essa propriedade vale para números reais; cada componente A_i,B_i,C_i é um número real):
A_i\bigl(B_i \pm C_i\bigr) = A_i B_i \pm A_i C_i.
Aqui estou apenas distribuindo A_i sobre a soma B_i\pm C_i componente a componente.

Passo 5

Reconheço as somas indexadas como produtos escalares (pela definição do Passo 2):
A_i B_i = \vec{A}\cdot\vec{B}, \qquad A_i C_i = \vec{A}\cdot\vec{C}.
Substituindo na expressão do Passo 4 obtenho
\vec{A}\cdot(\vec{B}\pm\vec{C}) = \vec{A}\cdot\vec{B} \pm \vec{A}\cdot\vec{C},
o que é exatamente a identidade pedida.

Passo 6

Para reforçar (e usar o dado que a é real), segue um exemplo relacionado que costuma cair em prova: provar que
\vec{A}\cdot\bigl(a\vec{B}\bigr)=a\bigl(\vec{A}\cdot\vec{B}\bigr)
usando indíces. Escrevo:
\vec{A}\cdot\bigl(a\vec{B}\bigr)=A_i\bigl(a B_i\bigr).
Como a é escalar real, pode-se fatorar fora da soma:
A_i\bigl(a B_i\bigr)=a\bigl(A_i B_i\bigr)=a\bigl(\vec{A}\cdot\vec{B}\bigr).
Isso ilustra o mesmo tipo de raciocínio: componentes são números reais e obedecem as leis usuais da aritmética.

Passo 7

Resumo prático para a prova (dica amiga): ao ver identidades com soma e produto escalar, troque por componentes com a convenção A_i B_i. Faça a distribuição componente a componente usando a propriedade distributiva dos números reais; então reconheça as somas indexadas como produtos escalares. Isso evita desenhar figuras e é rápido em prova.

Resposta

\vec{A}\cdot(\vec{B}\pm\vec{C})=\vec{A}\cdot\vec{B}\pm\vec{A}\cdot\vec{C}

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