(Operações vetoriais e suas identidades) Verifique a validade das identidades vetoriais a seguir. Utilize notação indicial para realizar todos os cálculos e considere que
é um número real.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a validade da identidade
Informações dadas e úteis:
- São vetores
, , . - Foi dito que
é um número real (não será necessário para esta identidade, mas servirá para um exemplo extra). - A verificação deve ser feita usando notação indicial (componentes e convenção de soma de Einstein).
Não vou resolver nada ainda — apenas organizei o que o problema pede e quais dados tenho.
Passo 2
Vou explicar a notação que vou usar (bem devagarinho, passo a passo).
- Denoto as componentes dos vetores por
, , , com (ou o número de dimensões do espaço). - Convenção de soma de Einstein: quando um índice aparece repetido (ex.:
), isso significa soma sobre :
- Produto escalar em notação indicial: a definição é
- Soma de vetores é componente a componente:
Esses são os conceitos básicos que uso nas contas.
Passo 3
Agora escrevo o membro esquerdo da identidade usando notação indicial, substituindo a componente da soma:
Usando a expressão componente da soma:
Passo 4
Aplico a propriedade distributiva da multiplicação sobre a soma (essa propriedade vale para números reais; cada componente
é um número real):
Aqui estou apenas distribuindo
sobre a soma
componente a componente.
Passo 5
Reconheço as somas indexadas como produtos escalares (pela definição do Passo 2):
Substituindo na expressão do Passo 4 obtenho
o que é exatamente a identidade pedida.
Passo 6
Para reforçar (e usar o dado que
é real), segue um exemplo relacionado que costuma cair em prova: provar que
usando indíces. Escrevo:
Como
é escalar real, pode-se fatorar fora da soma:
Isso ilustra o mesmo tipo de raciocínio: componentes são números reais e obedecem as leis usuais da aritmética.
Passo 7
Resumo prático para a prova (dica amiga): ao ver identidades com soma e produto escalar, troque por componentes com a convenção
. Faça a distribuição componente a componente usando a propriedade distributiva dos números reais; então reconheça as somas indexadas como produtos escalares. Isso evita desenhar figuras e é rápido em prova.