(Operações vetoriais e suas identidades) Verifique a validade das identidades vetoriais a seguir. Utilize notação indicial para realizar todos os cálculos e considere que
é um número real.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a validade da identidade vetorial
Informações que temos e que usaremos (retiradas do enunciado):
-
são vetores em . - Deve-se usar notação indicial para todo o cálculo (ou seja, escrever componentes e usar a convenção de soma de Einstein para índices repetidos).
- Vamos provar a identidade mostrando que todas as componentes à esquerda e à direita coincidem.
Passo 2
Definições e ferramentas que usarei (explicadas de forma didática):
- Convenção de índices (soma de Einstein): quando um índice aparece duas vezes num termo, soma-se sobre ele de
a . Ex.: . - Produto vetorial em componentes: a componente
-ésima do produto vetorial é dada por
onde
é o símbolo de Levi-Civita (totalmente anti-simétrico, com
).
- Produto escalar em componentes:
(índice repetido somado). - Identidade de contração do Levi-Civita com si mesmo (forma padrão que usarei): para contração sobre um índice igual,
onde
é o delta de Kronecker (
se
, senão
). Vou usar essa identidade, possivelmente reindexando ciclicamente os índices para obter a forma necessária à minha contração.
Passo 3
Escrever a componente
-ésima do membro esquerdo
usando a fórmula do produto vetorial:
Substituindo
, obtemos
Aqui todos os índices repetidos (
) são somados segundo a convenção de Einstein.
Passo 4
Avaliar a contração
. Para aplicar a identidade conhecida, faço uma permutação cíclica no primeiro
:
Assim
Agora uso a identidade padrão com contração no primeiro índice (igual a
):
Portanto concluímos a forma conveniente para a nossa contração:
Passo 5
Substituo essa relação na expressão do Passo 3:
Distribuo os termos e uso as propriedades do delta de Kronecker (
,
, etc.):
Agora simplifico cada termo:
- Primeiro termo:
e , logo o primeiro termo é . Reagrupando os fatores (e notando que ) isso é
- Segundo termo:
e , logo o segundo termo é . Reagrupando (e notando que ) isso é
Passo 6
Juntando os dois termos simplificados, obtemos para cada componente
:
Como essa igualdade vale para toda componente
, reescrevendo em forma vetorial chega-se à identidade vetorial desejada: