(Operações vetoriais e suas identidades) Verifique a validade das identidades vetoriais a seguir. Utilize notação indicial para realizar todos os cálculos e considere que a é um número real.
(\vec{A} \times \vec{B}) \times \vec{C}=\vec{B}(\vec{A} cdot \vec{C})-\vec{A}(\vec{B} cdot \vec{C})

Passo 1

O enunciado pede para verificar a validade da identidade vetorial
(\vec{A}\times\vec{B})\times\vec{C}=\vec{B}\,(\vec{A}\cdot\vec{C})-\vec{A}\,(\vec{B}\cdot\vec{C}).
Informações que temos e que usaremos (retiradas do enunciado):
  • \vec{A},\vec{B},\vec{C} são vetores em \mathbb{R}^3.
  • Deve-se usar notação indicial para todo o cálculo (ou seja, escrever componentes e usar a convenção de soma de Einstein para índices repetidos).
  • Vamos provar a identidade mostrando que todas as componentes à esquerda e à direita coincidem.

Passo 2

Definições e ferramentas que usarei (explicadas de forma didática):
  • Convenção de índices (soma de Einstein): quando um índice aparece duas vezes num termo, soma-se sobre ele de 1 a 3. Ex.: A_i B_i = \sum_{i=1}^3 A_i B_i.
  • Produto vetorial em componentes: a componente i-ésima do produto vetorial \vec{U}\times\vec{V} é dada por
(\vec{U}\times\vec{V})_i=\epsilon_{ijk}\,U_j\,V_k,
onde \epsilon_{ijk} é o símbolo de Levi-Civita (totalmente anti-simétrico, com \epsilon_{123}=+1).
  • Produto escalar em componentes: \vec{U}\cdot\vec{V}=U_i V_i (índice repetido somado).
  • Identidade de contração do Levi-Civita com si mesmo (forma padrão que usarei): para contração sobre um índice igual,
\epsilon_{a b c}\,\epsilon_{a d e}=\delta_{b d}\,\delta_{c e}-\delta_{b e}\,\delta_{c d},
onde \delta_{ij} é o delta de Kronecker ( \delta_{ij}=1 se i=j, senão 0). Vou usar essa identidade, possivelmente reindexando ciclicamente os índices para obter a forma necessária à minha contração.

Passo 3

Escrever a componente i-ésima do membro esquerdo (\vec{A}\times\vec{B})\times\vec{C} usando a fórmula do produto vetorial:
\big((\vec{A}\times\vec{B})\times\vec{C}\big)_i =\epsilon_{i j k}\,(\vec{A}\times\vec{B})_j\,C_k.
Substituindo (\vec{A}\times\vec{B})_j=\epsilon_{j p q}\,A_p\,B_q, obtemos
\big((\vec{A}\times\vec{B})\times\vec{C}\big)_i =\epsilon_{i j k}\,\epsilon_{j p q}\,A_p\,B_q\,C_k.
Aqui todos os índices repetidos ( j,p,q,k) são somados segundo a convenção de Einstein.

Passo 4

Avaliar a contração \epsilon_{i j k}\,\epsilon_{j p q}. Para aplicar a identidade conhecida, faço uma permutação cíclica no primeiro \epsilon:
\epsilon_{i j k}=\epsilon_{j k i}.
Assim
\epsilon_{i j k}\,\epsilon_{j p q}=\epsilon_{j k i}\,\epsilon_{j p q}.
Agora uso a identidade padrão com contração no primeiro índice (igual a j):
\epsilon_{j k i}\,\epsilon_{j p q}=\delta_{k p}\,\delta_{i q}-\delta_{k q}\,\delta_{i p}.
Portanto concluímos a forma conveniente para a nossa contração:
\epsilon_{i j k}\,\epsilon_{j p q}=\delta_{k p}\,\delta_{i q}-\delta_{k q}\,\delta_{i p}.

Passo 5

Substituo essa relação na expressão do Passo 3:
\big((\vec{A}\times\vec{B})\times\vec{C}\big)_i =(\delta_{k p}\,\delta_{i q}-\delta_{k q}\,\delta_{i p})\,A_p\,B_q\,C_k.
Distribuo os termos e uso as propriedades do delta de Kronecker ( \delta_{k p}A_p=A_k, \delta_{i q}B_q=B_i, etc.):
\big((\vec{A}\times\vec{B})\times\vec{C}\big)_i = \delta_{k p}\,\delta_{i q}\,A_p\,B_q\,C_k \;-\; \delta_{k q}\,\delta_{i p}\,A_p\,B_q\,C_k.
Agora simplifico cada termo:
  • Primeiro termo: \delta_{k p}A_p=A_k e \delta_{i q}B_q=B_i, logo o primeiro termo é A_k\,B_i\,C_k. Reagrupando os fatores (e notando que A_k C_k = \vec{A}\cdot\vec{C}) isso é
A_k\,B_i\,C_k = B_i\,(A_k\,C_k)=B_i\,(\vec{A}\cdot\vec{C}).
  • Segundo termo: \delta_{k q}B_q=B_k e \delta_{i p}A_p=A_i, logo o segundo termo é B_k\,A_i\,C_k. Reagrupando (e notando que B_k C_k = \vec{B}\cdot\vec{C}) isso é
B_k\,A_i\,C_k = A_i\,(B_k\,C_k)=A_i\,(\vec{B}\cdot\vec{C}).

Passo 6

Juntando os dois termos simplificados, obtemos para cada componente i:
\big((\vec{A}\times\vec{B})\times\vec{C}\big)_i = B_i\,(\vec{A}\cdot\vec{C}) - A_i\,(\vec{B}\cdot\vec{C}).
Como essa igualdade vale para toda componente i, reescrevendo em forma vetorial chega-se à identidade vetorial desejada:
(\vec{A}\times\vec{B})\times\vec{C}=\vec{B}\,(\vec{A}\cdot\vec{C})-\vec{A}\,(\vec{B}\cdot\vec{C}).

Resposta

(\vec{A}\times\vec{B})\times\vec{C}=\vec{B}\,(\vec{A}\cdot\vec{C})-\vec{A}\,(\vec{B}\cdot\vec{C})

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