A Regra da Cadeia no Movimento. A altitude H de um foguete é função da sua pressão atmosférica externa p, dada por H(p)=1000-10 p. A pressão, por sua vez, muda com o tempo t conforme o foguete sobe: p(t)=100-2 t.
a) Use a Regra da Cadeia, \frac{d H}{d t}=\frac{d H}{d p} \cdot \frac{d p}{d t}, para encontrar a taxa de subida do foguete em função do tempo.
b) Qual a taxa de subida em t=5 segundos?
Esta é a exata estrutura matemática que usaremos para deduzir a aceleração convectiva, onde a velocidade depende da posição, e a posição depende do tempo.

Passo 1

O enunciado dá a altitude do foguete em função da pressão externa via
H(p)=1000 - 10\,p
e a pressão em função do tempo via
p(t)=100 - 2\,t.
O conteúdo aqui é a Regra da Cadeia para obter \frac{dH}{dt} sabendo \frac{dH}{dp} e \frac{dp}{dt}.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais:
\frac{dH}{dp} = \frac{d}{dp}\bigl(1000 - 10\,p\bigr) = -10,
\frac{dp}{dt} = \frac{d}{dt}\bigl(100 - 2\,t\bigr) = -2.

Passo 3

Aplicando a Regra da Cadeia,
\frac{dH}{dt} = \frac{dH}{dp}\,\frac{dp}{dt} = (-10)\times(-2) = 20.
Portanto a taxa de subida é constante e igual a 20 (unidades de altitude por unidade de tempo).

Passo 4

Em particular, para t=5 segundos, a taxa continua sendo
\frac{dH}{dt}\bigg|_{t=5} = 20.

Resposta

a) \displaystyle \frac{dH}{dt}=20.
b) Em t=5 s, \displaystyle \frac{dH}{dt}=20.

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