Questão 32: Obtenha uma base e consequentemente determine a dimensão de cada um dos subespaços de M3 times 3 abaixo descritos:
c) matrizes em que os elementos da segunda linha é igual aos elementos da terceira coluna.
dim S=6

Passo 1

O enunciado pede a base e a dimensão do subespaço Ssubset M3times3 formado por todas as matrizes cuja segunda linha coincide com a terceira coluna. O conteúdo aqui é caracterizar um subespaço através de condições lineares sobre as entradas da matriz e depois encontrar uma parametrização que leve a uma base.

Passo 2

Escrevendo uma matriz genérica
A = l(aijr)i,j=1^3
a condição “segunda linha = terceira coluna” significa
a21 = a13, a22 = a23, a23 = a33
Isso dá três equações lineares independentes entre as 9 entradas, sobrando 9-3=6 graus de liberdade. Logo dim S = 6.

Passo 3

Escolhendo as entradas livres como
a11=x1,;a12=x2,;a13=x3,;a31=x4,;a32=x5,;a33=x6,
as outras são
a21=x3, a22=x6, a23=x6
Assim
A = x1E11 + x2E12 + x3l(E13+E21r) + x4E31 + x5E32 + x6l(E22+E23+E33r)

Passo 4

Dessa expressão vemos imediatamente que uma base de S é dada pelas seis matrizes independentes
E11, E12, E13+E21, E31, E32, E22+E23+E33

Resposta

Uma base de S é
E11, E12, E13+E21, E31, E32, E22+E23+E33,
e dim S = 6.

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