Questão 32: Obtenha uma base e consequentemente determine a dimensão de cada um dos subespaços de
abaixo descritos:
c) matrizes em que os elementos da segunda linha é igual aos elementos da terceira coluna.
c) matrizes em que os elementos da segunda linha é igual aos elementos da terceira coluna.
Passo 1
O enunciado pede a base e a dimensão do subespaço
formado por todas as matrizes cuja segunda linha coincide com a terceira coluna. O conteúdo aqui é caracterizar um subespaço através de condições lineares sobre as entradas da matriz e depois encontrar uma parametrização que leve a uma base.
Passo 2
Escrevendo uma matriz genérica
a condição “segunda linha
terceira coluna” significa
Isso dá três equações lineares independentes entre as
entradas, sobrando
graus de liberdade. Logo
.
Passo 3
Escolhendo as entradas livres como
as outras são
Assim
Passo 4
Dessa expressão vemos imediatamente que uma base de
é dada pelas seis matrizes independentes
Resposta
Uma base de
é
e
.