Sabendo que [T]B^A=[ccc2 & 1 & 1 -1 & -1 & 0] é a matriz mudança de base de A= v1, v2, v3= (1,-2,1),(1,-1,1),(1,1,0) para
B=w1, w2=(2,1),(1,3). Então T(2,-1,1) é?
a) (1,-2)
b) (2,1,0)
c) (5,0)
d) (2,-1)
e) (3,0,-1)

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear Tcolon R^3toR^2 com matriz de mudança de base de A=v1,v2,v3 para B=w1,w2 igual a
[T]B^A = 2 & 1 & 1 -1 & -1 & 0
Queremos calcular T(2,-1,1). Para isso:
  1. Expressamos o vetor (2,-1,1) em coordenadas na base A.
  2. Aplicamos a matriz [T]B^A a essas coordenadas para achar as coordenadas de T(2,-1,1) em B.
  3. Reconstruímos T(2,-1,1) em coordenadas padrão usando w1 e w2.

Passo 2

Para achar (c1,c2,c3) tais que
c1v1 + c2v2 + c3v3 = (2,-1,1),
escrevemos o sistema
c1 + c2 + c3 = 2, -2c1 - c2 + c3 = -1, c1 + c2 = 1
Resolvendo essas equações obtemos
(c1,c2,c3) = (1,0,1)

Passo 3

Agora calculamos as coordenadas de T(2,-1,1) na base B:
[T(2,-1,1)]B = [T]B^A,101 = 2 & 1 & 1 -1 & -1 & 0 101 = 3-1

Passo 4

Por definição, se [T(2,-1,1)]B=(3,-1), então
T(2,-1,1) = 3,w1 - 1,w2 = 3,(2,1) ;-;(1,3) = (6,3) - (1,3) = (5,0)

Resposta

c) (5,0)

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