Sejam V=R^2, v1=(x1, y1) e v2=(x2, y2) in V. Mostre que
lang<= v1, v2rang<==2 x1 x2-x1 y2-x2 y1+y1 y2
é um produto interno em R^2.

Passo 1

O enunciado define em V=R^2 a aplicação
lang<= v1,v2rang<= ;=;2x1x2-x1y2-x2y1+y1y2,
onde v1=(x1,y1) e v2=(x2,y2). Para mostrar que isso é um produto interno, precisamos verificar três propriedades:
1. Simetria: lang<= v1,v2rang<==lang<= v2,v1rang<=.
2. Bilinearidade: linear em cada argumento.
3. Positividade definida: lang<= v,vrang<=>0 sempre que vneq(0,0).

Passo 2

Note que podemos escrever
lang<= v1,v2rang<= =v1^TA,v2,
com
A=2 & -1[6pt]-1 & 1
Como A é constante, v1^TA,v2 é linear em v1 e em v2, logo temos bilinearidade. Além disso, A é simétrica ( A^T=A), então
lang<= v1,v2rang<= =v1^TA,v2 =l(v2^TA,v1r)^T =v2^TA,v1 =lang<= v2,v1rang<=,
o que prova a simetria.]

Passo 3

Para a positividade definida basta computar
lang<= (x,y),(x,y)rang<= =2x^2-2xy+y^2
Podemos completar o quadrado:
2x^2-2xy+y^2 =x^2+(x-y)^2
Se (x,y)neq(0,0), então pelo menos um dos termos x^2 ou (x-y)^2 é positivo, e portanto
lang<= (x,y),(x,y)rang<=>0
Alternativamente, pelos menores principais de A:
detl([2]r)=2>0 e det(A)=2cdot1-(-1)^2=1>0, então A é definida positiva.

Resposta

A aplicação dada satisfaz simetria, bilinearidade e positividade definida; logo é um produto interno em R^2.

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