Sejam
,
e
. Mostre que
é um produto interno em
.
Passo 1
O enunciado define em
a aplicação
onde
e
. Para mostrar que isso é um produto interno, precisamos verificar três propriedades:
. Simetria:
.
. Bilinearidade: linear em cada argumento.
. Positividade definida:
sempre que
.
Passo 2
Note que podemos escrever
com
Como
é constante,
é linear em
e em
, logo temos bilinearidade. Além disso,
é simétrica (
), então
o que prova a simetria.]
Passo 3
Para a positividade definida basta computar
Podemos completar o quadrado:
Se
, então pelo menos um dos termos
ou
é positivo, e portanto
Alternativamente, pelos menores principais de
:
e
, então
é definida positiva.
Resposta
A aplicação dada satisfaz simetria, bilinearidade e positividade definida; logo é um produto interno em
.