O operador linear T: R^3 R^3 definido por T(x ; y ; z)=(x-y+3 z ; y+ 2 z ;-3 z ) é invertível.

Passo 1

O enunciado define o operador linear T:R^3toR^3 dado por
T(x,y,z) = (,x - y + 3z,;y + 2z,;-3z,)
Queremos verificar se T é invertível, ou seja, se a matriz associada em base canônica tem determinante diferente de zero.

Passo 2

Para obter a matriz A de T na base canônica, aplicamos T a cada vetor da base:
T(1,0,0) = (1,0,0), T(0,1,0) = (-1,1,0), T(0,0,1) = (3,2,-3)
Assim,
A = 1 & -1 & 3 0 & 1 & 2 0 & 0 & -3

Passo 3

Como A é triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
det(A) = 1 cdot 1 cdot (-3) = -3 neq 0

Passo 4

Um operador linear é invertível se, e somente se, o determinante de sua matriz em qualquer base for não zero. Como det(A)=-3neq0, concluímos que T é invertível.

Resposta

Sim, T é invertível, pois det(A)=-3neq0.

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