Seja E=F(R ; R). Para X subset R qualquer, ponhamos N(X)=varphi in E ; varphi(x)=0 para todo x in X. Prove:
N(X) oplus N(Y)=E Leftrightarrow Y=R-X.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial
E = F(R;R)
de todas as funções reais em R, e, para XsubsetR, o subespaço
N(X) = varphiin E;;varphi(x)=0 para todo xin X
Queremos mostrar que
N(X)oplus N(Y)=E
se, e somente se,
Y = Rsetminus X
Lembramos que N(X)oplus N(Y)=E significa duas coisas:
  1. N(X)+N(Y)=E.
  2. N(X)cap N(Y)=0.

Passo 2

Mostramos que N(X)cap N(Y)=0 se, e somente se, Xcup Y=R.
  • Se existir tnotin Xcup Y, então toda varphiin N(X)cap N(Y) satisfaz varphi(t) livre, logo podemos ter varphineq0 neste ponto, contradição à interseção trivial.
  • Se Xcup Y=R, então qualquer varphiin N(X)cap N(Y) é zero em X e em Y, isto é, zero em todo R. Logo varphi=0.

Passo 3

Mostramos que
e (pois é zero fora de ) e , e claramente . Logo .

Passo 4

Concluímos que N(X)oplus N(Y)=E se, e somente se,
Xcup Y=R e Xcap Y=varnothing,
que é exatamente a condição Y=Rsetminus X.

Resposta

N(X)oplus N(Y)=Eiff Y=Rsetminus X.

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