Seja
. Para
qualquer, ponhamos
para todo
. Prove:
.
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
de todas as funções reais em
, e, para
, o subespaço
Queremos mostrar que
se, e somente se,
Lembramos que
significa duas coisas:
-
. -
.
Passo 2
Mostramos que
se, e somente se,
.
- Se existir
, então toda satisfaz livre, logo podemos ter neste ponto, contradição à interseção trivial. - Se
, então qualquer é zero em e em , isto é, zero em todo . Logo .
Passo 3
Mostramos que
e (pois
é zero fora de
) e
, e claramente
. Logo
.
Passo 4
Concluímos que
se, e somente se,
que é exatamente a condição
.