Seja T: R^3 R^3 um operador linear tal que [T]=[lll1 & 2 & 4 0 & 3 & 6 0 & 0 & 1], verifique se T é invertível e em caso afirmativo, calcule a inversa T^-1.

Passo 1

O enunciado nos dá um operador linear T: R^3toR^3 cuja matriz em base canônica é\r
[T] ;=; 1 & 2 & 4 0 & 3 & 6 0 & 0 & 1 \r
Precisamos verificar se T é invertível e, em caso afirmativo, calcular ;T^-1. \r
Para isso usaremos a propriedade de matrizes triangulares e em seguida resolveremos o sistema A,B=I para encontrar B=A^-1.

Passo 2

Como [T] é triangular superior, seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Calculamos\r
det[T] ;=; 1 cdot 3 cdot 1 ;=; 3 \r
Como det[T]neq 0, concluímos que T é invertível.

Passo 3

Para achar a inversa de uma matriz triangular superior, podemos supor que ela também seja triangular superior. Escrevemos\r
A = [T] = 1 & 2 & 4 0 & 3 & 6 0 & 0 & 1 , B = A^-1 = a & b & c 0 & d & e 0 & 0 & f \r
e exigimos A,B = I3.

Passo 4

Computamos A,B por linhas e colunas e igualamos a I3:\r
1. Da entrada (1,1): 1cdot a +2cdot0 +4cdot0 = a = 1. \r
2. Da entrada (2,2): 0cdot b +3cdot d +6cdot0 = 3d = 1 Rightarrow d = tfrac13. \r
3. Da entrada (3,3): f = 1. \r
4. Da entrada (1,2): 1cdot b +2cdot d +4cdot0 = b +2d = 0 Rightarrow b = -2d = -tfrac23. \r
5. Da entrada (2,3): 3e +6f = 0 Rightarrow 3e +6 = 0 Rightarrow e = -2. \r
6. Da entrada (1,3): 1cdot c +2cdot e +4cdot f = 0 Rightarrow c +2(-2)+4 = 0 Rightarrow c = 0.

Passo 5

Substituindo as incógnitas, obtemos\r
B = A^-1 = 1 & -tfrac23 & 0 0 & tfrac13 & -2 0 & 0 & 1

Resposta

T é invertível (det[T]=3neq0) e [T]^-1 = 1 & -tfrac23 & 0 0 & tfrac13 & -2 0 & 0 & 1 éí

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