Seja E=F(R ; R). Para X subset R qualquer, ponhamos N(X)=varphi in E ; varphi(x)=0 para todo x in X. Prove:
X subset Y Rightarrow N(Y) subset N(X)

Passo 1

O enunciado define E=F(R;R), o conjunto de todas as funções de R em R. Para qualquer subconjunto XsubsetR, define-se
N(X)=varphiin E;;varphi(x)=0 para todo xin X
O que queremos provar é que, sempre que Xsubset Y, então
N(Y)subset N(X)
Este é um exercício elemental de teoria de conjuntos e da interpretação da definição de subconjunto.

Passo 2

Vamos traduzir o que cada inclusão significa:
  1. Xsubset Y quer dizer que todo elemento de X também pertence a Y.
  2. A afirmação N(Y)subset N(X) significa que, se varphi é uma função em N(Y), então ela também deve pertencer a N(X).
Formalmente, para provar N(Y)subset N(X) precisamos tomar um elemento genérico varphiin N(Y) e mostrar que varphiin N(X).

Passo 3

Suponha Xsubset Y e seja varphiin N(Y).
Pela definição de N(Y), temos
varphi(x)=0para todo xin Y
Como Xsubset Y, qualquer xin X também está em Y. Logo, para todo xin X vale
varphi(x)=0
Isto é exatamente a definição de varphiin N(X). Portanto, mostramos que qualquer varphiin N(Y) pertence a N(X).

Resposta

Logo, sob a hipótese Xsubset Y, temos de fato
N(Y)subset N(X)

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