Seja
. Para
qualquer, ponhamos
para todo
. Prove:
Passo 1
O enunciado define
, o conjunto de todas as funções de
em
. Para qualquer subconjunto
, define-se
O que queremos provar é que, sempre que
, então
Este é um exercício elemental de teoria de conjuntos e da interpretação da definição de subconjunto.
Passo 2
Vamos traduzir o que cada inclusão significa:
-
quer dizer que todo elemento de também pertence a . - A afirmação
significa que, se é uma função em , então ela também deve pertencer a .
Formalmente, para provar
precisamos tomar um elemento genérico
e mostrar que
.
Passo 3
Suponha
e seja
.
Pela definição de , temos
Pela definição de
Como
, qualquer
também está em
. Logo, para todo
vale
Isto é exatamente a definição de
. Portanto, mostramos que qualquer
pertence a
.
Resposta
Logo, sob a hipótese
, temos de fato