Seja T: R^2 R^2 um operador definido por T(x ; y)=(3 x+ 4 y ;-2 y), determine os possíveis valores de lambda in R de forma que o operador ( T lambda I): R^2 R^2 definido por (T-lambda I)(x ; y)=(3 x+4 y-lambda x ;-2 y-lambda y) nāo seja invertível.

Passo 1

O enunciado nos dá um operador linear Tcolon R^2toR^2 definido por
T(x,y) = (3x + 4y,,-2y)
e pede os valores de lambdainR tais que T - lambda I não seja invertível.
Conteúdo principal: matrizes, determinante e condição de invertibilidade (determinante igual a zero).

Passo 2

Vamos escrever a matriz de T na base canônica e, em seguida, a de T - lambda I.
A matriz de T é
A = 3 & 4 0 & -2
Então
T - lambda I long<=ftrightarrow A - lambda I = 3-lambda & 4 0 & -2-lambda

Passo 3

Para T - lambda I não ser invertível, precisamos de
det(A - lambda I) = 0
Calculando o determinante:
det!3-lambda & 4 0 & -2-lambda = (3-lambda),( -2-lambda ) - 0 = (3-lambda)(-2-lambda)

Passo 4

Agora, basta resolver
(3-lambda)(-2-lambda)=0,
cuja solução é
lambda = 3 ou lambda = -2

Resposta

lambda = 3 ou lambda = -2.

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