Questão 1 (2 pontos) Dadas as Matrizes
A=[ll9 & 5 7 & 4] e B=[cc4 & n m & 9]
a) (1 ponto) Calcule m e n para que a matriz AB seja igual a matriz identidade.
b) (0,5 pontos) Calcule m e n para que a matriz B^2 seja igual a matriz [ll22 & 26 39 & 87]
c) (0,5 pontos ) Considerando agora n=-2 e m=-3 calcular (A B)^t.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes
A = 9 & 5 [6pt] 7 & 4 e B = 4 & n [3pt] m & 9
e pede:
– (a) valores de m,n tais que AB=I;
– (b) valores de m,n tais que B^2=22&2639&87;
– (c) para n=-2, m=-3, calcular (AB)^t.
Vamos usar definição de produto matricial, igualar entradas e transpor.]

Passo 2

Para (a) calculamos
AB = 9cdot4 + 5,m & 9,n + 5cdot9 [4pt] 7cdot4 + 4,m & 7,n + 4cdot9 = 36 + 5m & 9n + 45 [4pt] 28 + 4m & 7n + 36
Igualando à matriz identidade 1&00&1, obtemos o sistema
36 + 5m = 1 , 9n + 45 = 0
cuja solução é
m = -7 , n = -5
Verifica-se que as outras duas igualdades da segunda linha também ficam satisfeitas.]

Passo 3

Para (b) calculamos
B^2 = Bcdot B = 4cdot4 + n,m & 4,n + ncdot9 [3pt] mcdot4 + 9,m & m,n + 9cdot9 = 16 + mn & 13n [3pt] 13m & mn + 81
Igualando a 22&2639&87
16 + mn = 22, 13n = 26, 13m = 39,
cuja solução é
n = 2, m = 3,
e confere que mn+81 = 6 + 81 = 87.]

Passo 4

Para (c) usamos n=-2 e m=-3. Primeiro
AB = 36 + 5(-3) & 9(-2) + 45 [3pt] 28 + 4(-3) & 7(-2) + 36 = 21 & 27 [3pt] 16 & 22
Então
(AB)^t = 21 & 16 [3pt] 27 & 22 ]

Resposta

a) m=-7, n=-5
b) m=3, n=2
c) (AB)^t = 21 & 16 [3pt]27 & 22]

Exercícios relacionados