Para os operadores dados, classifique em autoadjunto ou ortogonal.
No espaço
com p.i. usual,
, onde
é uma matriz real, simétrica fixa.
No espaço
Passo 1
Resumo do enunciado: estamos no espaço vetorial
munido do produto interno usual
Definimos o operador linear
onde
é uma matriz real simétrica fixa. Queremos classificar
como autoadjunto (auto-adjoint) e/ou ortogonal. Para isso vamos usar as definições:
-
é autoadjunto se para todos . -
é ortogonal (ou isometria) se para todos .
Passo 2
Verificação de autoadjuntude.
Calculemos
Calculemos
Como
é simétrica,
, logo
Por outro lado,
Como esses dois valores coincidem para todos
, concluímos que
é autoadjunto.
Passo 3
Verificação de ortogonalidade.
Queremos ver quando
Queremos ver quando
Calculemos o lado esquerdo:
Para que isso seja igual a
para todo
, precisamos de
Ou seja,
deve ser involutiva. Além disso, sendo
simétrica,
implica
, isto é,
é uma matriz ortogonal cujo autovalores são
ou
.
Passo 4
Conclusão sobre a classificação:
-
é sempre autoadjunto, pois usamos apenas a simetria . -
é ortogonal (preserva o produto interno) se e somente se