Para os operadores dados, classifique em autoadjunto ou ortogonal.
No espaço M(n times n, R) com p.i. usual, T(A)=P A, onde P é uma matriz real, simétrica fixa.

Passo 1

Resumo do enunciado: estamos no espaço vetorial M(ntimes n,R) munido do produto interno usual
lang<= A,Brang<= = trl(A^T Br)
Definimos o operador linear
Tcolon M(ntimes n,R)to M(ntimes n,R), T(A)=P,A,
onde P é uma matriz real simétrica fixa. Queremos classificar T como autoadjunto (auto-adjoint) e/ou ortogonal. Para isso vamos usar as definições:
  1. T é autoadjunto se lang<= T(A),Brang<==lang<= A,T(B)rang<= para todos A,B.
  2. T é ortogonal (ou isometria) se lang<= T(A),T(B)rang<==lang<= A,Brang<= para todos A,B.

Passo 2

Verificação de autoadjuntude.
Calculemos
lang<= T(A),Brang<= =trl((P,A)^T,Br) =trl(A^T,P^T,Br)
Como P é simétrica, P^T=P, logo
lang<= T(A),Brang<= =trl(A^T,P,Br)
Por outro lado,
lang<= A,T(B)rang<= =trl(A^T,(P,B)r) =trl(A^T,P,Br)
Como esses dois valores coincidem para todos A,B, concluímos que T é autoadjunto.

Passo 3

Verificação de ortogonalidade.
Queremos ver quando
lang<= T(A),T(B)rang<= =lang<= A,Brang<=
Calculemos o lado esquerdo:
lang<= T(A),T(B)rang<= =trl((P,A)^T,(P,B)r) =trl(A^T,P^T,P,Br) =trl(A^T,P^2,Br)
Para que isso seja igual a tr(A^T B) para todo A,B, precisamos de
P^2 = I
Ou seja, P deve ser involutiva. Além disso, sendo P simétrica, P^2=I implica P^-1=P, isto é, P é uma matriz ortogonal cujo autovalores são +1 ou -1.

Passo 4

Conclusão sobre a classificação:
  • T é sempre autoadjunto, pois usamos apenas a simetria P^T=P.
  • T é ortogonal (preserva o produto interno) se e somente se
P^2 = I

Resposta

T é autoadjunto para toda matriz real simétrica P.
T é ortogonal se, e somente se, P^2=I.

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