Se
\operatorname{sen}(x)-\cos (x)=1 / 5
, então
\operatorname{sen}(2 x)
é

Passo 1

O enunciado dá a equação
\operatorname{sen}(x)-\cos(x)=\tfrac{1}{5}
e pede para encontrar \operatorname{sen}(2x). Vamos usar duas coisas: a identidade pitagórica \operatorname{sen}^2(x)+\cos^2(x)=1 e a fórmula do ângulo duplo \operatorname{sen}(2x)=2\operatorname{sen}(x)\cos(x).

Passo 2

Elevando os dois lados de \operatorname{sen}(x)-\cos(x)=\tfrac{1}{5} ao quadrado, obtemos
\bigl(\operatorname{sen}(x)-\cos(x)\bigr)^2 = \operatorname{sen}^2(x)-2\operatorname{sen}(x)\cos(x)+\cos^2(x) = \frac{1}{25}.
Como \operatorname{sen}^2(x)+\cos^2(x)=1, isso vira
1 - 2\operatorname{sen}(x)\cos(x) = \frac{1}{25}.

Passo 3

Isolando o produto \operatorname{sen}(x)\cos(x), temos
2\operatorname{sen}(x)\cos(x) = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}.
Mas 2\operatorname{sen}(x)\cos(x) é exatamente \operatorname{sen}(2x).

Resposta

\operatorname{sen}(2x)=\tfrac{24}{25}.

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