O valor numérico da expressão
\frac{\operatorname{cossec}^{2}(x / 2)-\operatorname{tg}(2 x)}{1-\operatorname{sec} (4 x / 3)}
, para
x=\pi / 8
é:

Passo 1

O enunciado pede o valor numérico da expressão
\frac{\operatorname{csc}^{2}\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\;-\;\tan(2x)}{1-\operatorname{sec}\bigl(\tfrac{4x}{3}\bigr)}
para x=\pi/8. O conteúdo é trigonometria, e vamos usar identidades de ângulo duplo, recíprocas e simplificação algébrica.

Passo 2

Substituindo x=\pi/8 no numerador:
\operatorname{csc}^{2}\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)=\operatorname{csc}^{2}\bigl(\tfrac{\pi}{16}\bigr), \qquad \tan(2x)=\tan\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=1.
Logo o numerador vira
\operatorname{csc}^{2}\bigl(\tfrac{\pi}{16}\bigr)-1 =\frac{1}{\sin^{2}(\pi/16)}-1 =\frac{1-\sin^{2}(\pi/16)}{\sin^{2}(\pi/16)} =\cot^{2}\bigl(\tfrac{\pi}{16}\bigr).

Passo 3

Substituindo x=\pi/8 no denominador:
\operatorname{sec}\bigl(\tfrac{4x}{3}\bigr)=\operatorname{sec}\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\frac{1}{\cos(\pi/6)}=\frac{2}{\sqrt{3}},
então
1-\operatorname{sec}\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr) =1-\frac{2}{\sqrt{3}} =\frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}} =\,-\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \quad\Longrightarrow\quad 1-\operatorname{sec}\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr) =\frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}}.

Passo 4

A expressão fica
\frac{\cot^{2}(\pi/16)}{\tfrac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}}} =\cot^{2}\bigl(\tfrac{\pi}{16}\bigr)\,\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-2}.
Racionalizando \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-2}=-\bigl(3+2\sqrt{3}\bigr), obtemos a forma exata
-\bigl(3+2\sqrt{3}\bigr)\,\cot^{2}\bigl(\tfrac{\pi}{16}\bigr).
Para valor numérico aproximado, calcule \cot(\pi/16)\approx5{,}0273, daí
\cot^{2}(\pi/16)\approx25{,}274 \quad\text{e}\quad -\bigl(3+2\sqrt{3}\bigr)\approx-6{,}4641,
logo o produto é
25{,}274\times(-6{,}4641)\approx -163{,}47.

Resposta

-163{,}47 (aproximadamente)

Exercícios relacionados