Sendo x um ângulo agudo e
\operatorname{sec} (x)=2 \sqrt{2}
, então
\operatorname{cossec}(x)
é:

Passo 1

O enunciado diz que x é um ângulo agudo e que
\operatorname{sec}(x)=2\sqrt{2}.
Queremos encontrar \mathrm{csc}(x).
Conteúdos usados: definição de secante, identidade pitagórica \sin^2(x)+\cos^2(x)=1 e definição de cosecante.

Passo 2

Da definição de secante temos
\operatorname{sec}(x)=\frac{1}{\cos(x)}=2\sqrt{2}
Logo
\cos(x)=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}.

Passo 3

Usando a identidade pitagórica
\sin^2(x)+\cos^2(x)=1
substituímos \cos(x)=\tfrac{\sqrt{2}}{4}:
\sin^2(x)=1-\Bigl(\frac{\sqrt{2}}{4}\Bigr)^{2} =1-\frac{2}{16} =\frac{14}{16}
Como x é agudo, \sin(x)>0, então
\sin(x)=\frac{\sqrt{14}}{4}.

Passo 4

A definição de cosecante é
\mathrm{csc}(x)=\frac{1}{\sin(x)}
Portanto
\mathrm{csc}(x) =\frac{1}{\frac{\sqrt{14}}{4}} =\frac{4}{\sqrt{14}} =\frac{4\sqrt{14}}{14} =\frac{2\sqrt{14}}{7}.

Resposta

\mathrm{csc}(x)=\frac{2\sqrt{14}}{7}.

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