A oscilação de um diapasão de 600 Hz excita ondas estacionárias em uma corda presa nas duas extremidades. A velocidade de onda para a corda é 400 m / s. A onda estacionária tem quatro ventres e uma amplitude de 2,00 mm. (a) Qual é o comprimento da corda? (b) Escreva uma expressão para o deslocamento da corda como uma função da posição e do tempo. (c) Para qual valor de frequência seria gerada uma onda estacionária com três ventres?

Passo 1

O enunciado trata de ondas estacionárias numa corda fixa em ambas as extremidades, geradas pelo diapasão de frequência ,600:Hz e velocidade de propagação ,v=400:m/s. Observamos que a corda exibe quatro ventres (antinodos) e que a amplitude máxima é 2,00:mm. Para resolver precisamos usar as relações de harmônicos numa corda fixa:
  1. O n-ésimo harmônico tem n ventres.
  2. Comprimento de onda lambdan=2L/n.
  3. Frequência fn = n,v/(2L).
  4. A forma da onda estacionária é
y(x,t)=A;sin!l(npi xLr),cos!l(2pi fn tr)

Passo 2

Como há quatro ventres, n=4. A frequência do quarto harmônico é
f4 = 4,v2L = 600:Hz
Logo
600 = 4cdot 4002L Longrightarrow L = 4cdot 4002cdot 600 = 16001200 = 43:m

Passo 3

Agora escrevemos a expressão para o deslocamento. A amplitude máxima é
A = 2,00:mm = 2,00times10^-3:m,
e o quarto harmônico tem
k = npiL = 4pi4/3 = 3pi:rad/m, omega = 2pi f4 = 2picdot600 =1200pi:rad/s
Portanto
y(x,t) = A,sin(kx),cos(omega t) = 2,00times10^-3,sinl(3pi xr),cosl(1200pi,tr),
com 0<= x<= tfrac43.

Passo 4

Para três ventres, n=3. A frequência correspondente é
f3 = 3,v2L = 3cdot4002,(4/3) = 12008/3 = 450:Hz

Resposta

(a) L = tfrac43:m approx 1,33:m
(b) y(x,t) = 2,00times10^-3,sinl(3pi xr),cosl(1200pi,tr)
(c) f = 450:Hz

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