1. Um oscilador criticamente amortecido, tem um fator Q=10. Partindo da posição de equilíbrio, é-lhe comunicada uma velocidade inicial de 5,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Verifica-se que a energia total do oscilador diminui numa taxa, por segundo, igual a quatro vezes sua energia cinética instantânea. Calcule o deslocamento z (em m ) em função do tempo t (em s ).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede, sem resolver ainda.
  • Dados do enunciado:
    • O oscilador é informado como “criticamente amortecido”.
    • Foi informado também um fator de qualidade Q=10.
    • Parte da posição de equilíbrio, logo a condição inicial de deslocamento é \,z(0)=0.
    • A velocidade inicial é \dot z(0)=5{,}0\\ \mathrm{m/s}.
    • A energia total do oscilador decresce numa taxa igual a quatro vezes sua energia cinética instantânea, isto é: \frac{dE}{dt} = -4\,K(t).
  • O que o problema pede:
    • Calcular o deslocamento z em função do tempo t, ou seja, encontrar z(t) em metros.
  • Observação importante sobre os dados (conflito):
    • Há uma inconsistência aparente: para um oscilador criticamente amortecido o fator Q vale \dfrac{1}{2}, não 10. Portanto a informação Q=10 contradiz a hipótese de amortecimento crítico.
    • Vou explicar como vou proceder: vou usar a informação de que o sistema é criticamente amortecido e a relação entre a taxa de variação da energia e a energia cinética (essas duas são suficientes e consistentes entre si) para determinar os parâmetros e obter z(t). A indicação Q=10 parece ser um dado incompatível ou um lapso do enunciado; no final mostro rapidamente a contradição numérica.

Passo 2

Modelo físico e fórmulas fundamentais (aulas rápidas e intuitivas).
  • Equação do movimento do oscilador amortecido (massa-mola-amortecedor):
    m\,\ddot z + c\,\dot z + k\,z = 0,
    onde:
    • m é a massa,
    • c é o coeficiente de amortecimento viscoso (unidade \mathrm{kg/s}),
    • k é a constante da mola,
    • \omega_0 é a frequência natural não amortecida definida por \omega_0=\sqrt{\dfrac{k}{m}}.
  • Definição de amortecimento crítico:
    • Amortecimento crítico ocorre quando o discriminante da equação característica é zero, o que corresponde a c_{\text{crítico}} = 2 m \omega_0.í
    • Neste caso o sistema não oscila e a solução da equação homogênea tem a forma z(t) = (A + B t)\,e^{-\omega_0 t}.Vou explicar depois como obter A e B a partir das condições iniciais.
  • Energia total e energia cinética:
    • Energia total: E(t) = \frac{1}{2}m\,\dot z^2 + \frac{1}{2}k\,z^2.
    • Energia cinética: K(t) = \frac{1}{2}m\,\dot z^2.
  • Taxa de variação da energia:
    • Diferenciando E e usando a equação de movimento: \frac{dE}{dt} = m\dot z\,\ddot z + k z\,\dot z = \dot z\bigl(m\ddot z + k z\bigr).
    • Como m\ddot z + c\dot z + k z = 0, segue: \frac{dE}{dt} = \dot z\bigl(-c\dot z\bigr) = -c\,\dot z^2.
    • Relacionando isso com K: como \dot z^2 = \dfrac{2K}{m}, \frac{dE}{dt} = -c\,\dot z^2 = -c\cdot\frac{2K}{m} = -\frac{2c}{m}\,K.
    • Portanto, sempre vale a identidade \frac{dE}{dt} = -\frac{2c}{m}\,K(t).Esta identidade é muito útil: ela nos dá uma relação direta entre o coeficiente de amortecimento c e a taxa de perda de energia em termos de K.

Passo 3

Usar a condição dada sobre a taxa de perda de energia para determinar c.
  • Pelo enunciado tem-se \dfrac{dE}{dt} = -4\,K(t).
  • Comparando com a identidade que acabamos de obter: -\frac{2c}{m}\,K(t) = -4\,K(t).
  • Cancelando K(t) (que é, em geral, não nulo nos instantes considerados): \frac{2c}{m} = 4 \quad\Rightarrow\quad c = 2m.Portanto o coeficiente de amortecimento é c=2m.

Passo 4

Relacionar c com a condição de amortecimento crítico e encontrar \omega_0.
  • Para amortecimento crítico vale c = 2 m \omega_0.
  • Como achamos c=2m, temos: 2m = 2 m \omega_0 \quad\Rightarrow\quad \omega_0 = 1\\ \text{s}^{-1}.
  • Comentário sobre Q: com esses valores o fator de qualidade é Q = \frac{m\omega_0}{c} = \frac{m\cdot 1}{2m} = \frac{1}{2},que confirma a contradição com o enunciado Q=10. Conclusão: o dado Q=10 é incompatível com “criticamente amortecido” e com a condição dada para a taxa de perda de energia; por isso seguimos com as outras informações (amortecimento crítico e relação de energia), que levam de forma consistente a \omega_0=1.

Passo 5

Resolver a equação do movimento para o caso criticamente amortecido e aplicar as condições iniciais.
  • Para amortecimento crítico, as raízes características são repetidas r=-\omega_0, de modo que a solução geral é
    z(t) = (A + B t)\,e^{-\omega_0 t}.
    Aqui A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais.
  • Usar as condições iniciais:
    • De z(0)=0 obtemos z(0)=(A + B\cdot 0)\,e^{0}=A=0.
    • A velocidade é \dot z(t) = B\,e^{-\omega_0 t} - \omega_0 (A + B t)\,e^{-\omega_0 t}.Avaliando em t=0: \dot z(0) = B - \omega_0 A = B.Como \dot z(0)=5{,}0\\ \mathrm{m/s}, segue B=5{,}0.
  • Substituindo A=0, B=5 e \omega_0=1 obtemos:
    z(t) = 5\,t\,e^{-1\cdot t} = 5\,t\,e^{-t}\quad\text{(metros)}.

Passo 6

Verificações rápidas e comentário final de incentivo.
  • Verificação de sentido: para t muito pequeno z(t)\approx 5t (isto é, crescimento inicial proporcional à velocidade inicial) e depois a exponencial faz o deslocamento decrescer para zero sem oscilar, como esperado para amortecimento crítico.
  • Lembrete encorajador: se na prova aparece um dado conflitante (como aqui o Q=10), busque as relações fundamentais (equação do movimento e conservação/variação de energia) e veja quais informações são consistentes entre si — isso normalmente resolve o impasse.

Resposta

z(t)=5\,t\,\mathrm{e}^{-t}\\ \text{(m)}

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