- Um oscilador criticamente amortecido, tem um fator
. Partindo da posição de equilíbrio, é-lhe comunicada uma velocidade inicial de
. Verifica-se que a energia total do oscilador diminui numa taxa, por segundo, igual a quatro vezes sua energia cinética instantânea. Calcule o deslocamento
(em
) em função do tempo
(em
).
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede, sem resolver ainda.
-
Dados do enunciado:
- O oscilador é informado como “criticamente amortecido”.
- Foi informado também um fator de qualidade
. - Parte da posição de equilíbrio, logo a condição inicial de deslocamento é
. - A velocidade inicial é
. - A energia total do oscilador decresce numa taxa igual a quatro vezes sua energia cinética instantânea, isto é:
-
O que o problema pede:
- Calcular o deslocamento
em função do tempo , ou seja, encontrar em metros.
- Calcular o deslocamento
-
Observação importante sobre os dados (conflito):
- Há uma inconsistência aparente: para um oscilador criticamente amortecido o fator
vale , não . Portanto a informação contradiz a hipótese de amortecimento crítico. - Vou explicar como vou proceder: vou usar a informação de que o sistema é criticamente amortecido e a relação entre a taxa de variação da energia e a energia cinética (essas duas são suficientes e consistentes entre si) para determinar os parâmetros e obter
. A indicação parece ser um dado incompatível ou um lapso do enunciado; no final mostro rapidamente a contradição numérica.
- Há uma inconsistência aparente: para um oscilador criticamente amortecido o fator
Passo 2
Modelo físico e fórmulas fundamentais (aulas rápidas e intuitivas).
-
Equação do movimento do oscilador amortecido (massa-mola-amortecedor):onde:
-
é a massa, -
é o coeficiente de amortecimento viscoso (unidade ), -
é a constante da mola, -
é a frequência natural não amortecida definida por .
-
-
Definição de amortecimento crítico:
- Amortecimento crítico ocorre quando o discriminante da equação característica é zero, o que corresponde a
- Neste caso o sistema não oscila e a solução da equação homogênea tem a forma
Vou explicar depois como obter e a partir das condições iniciais.
- Amortecimento crítico ocorre quando o discriminante da equação característica é zero, o que corresponde a
-
Energia total e energia cinética:
- Energia total:
- Energia cinética:
- Energia total:
-
Taxa de variação da energia:
- Diferenciando
e usando a equação de movimento: - Como
, segue: - Relacionando isso com
: como , - Portanto, sempre vale a identidade
Esta identidade é muito útil: ela nos dá uma relação direta entre o coeficiente de amortecimento e a taxa de perda de energia em termos de .
- Diferenciando
Passo 3
Usar a condição dada sobre a taxa de perda de energia para determinar
.
- Pelo enunciado tem-se
. - Comparando com a identidade que acabamos de obter:
- Cancelando
(que é, em geral, não nulo nos instantes considerados): Portanto o coeficiente de amortecimento é .
Passo 4
Relacionar
com a condição de amortecimento crítico e encontrar
.
- Para amortecimento crítico vale
. - Como achamos
, temos: - Comentário sobre
: com esses valores o fator de qualidade é que confirma a contradição com o enunciado . Conclusão: o dado é incompatível com “criticamente amortecido” e com a condição dada para a taxa de perda de energia; por isso seguimos com as outras informações (amortecimento crítico e relação de energia), que levam de forma consistente a .
Passo 5
Resolver a equação do movimento para o caso criticamente amortecido e aplicar as condições iniciais.
-
Para amortecimento crítico, as raízes características são repetidas
, de modo que a solução geral é Aquie são constantes determinadas pelas condições iniciais. -
Usar as condições iniciais:
- De
obtemos - A velocidade é
Avaliando em : Como , segue .
- De
-
Substituindo
, e obtemos:
Passo 6
Verificações rápidas e comentário final de incentivo.
- Verificação de sentido: para
muito pequeno (isto é, crescimento inicial proporcional à velocidade inicial) e depois a exponencial faz o deslocamento decrescer para zero sem oscilar, como esperado para amortecimento crítico. - Lembrete encorajador: se na prova aparece um dado conflitante (como aqui o
), busque as relações fundamentais (equação do movimento e conservação/variação de energia) e veja quais informações são consistentes entre si — isso normalmente resolve o impasse.