Um oscilador amortecido (massa igual a 200 g ) oscila com a seguinte equação de movimento:
Podemos afirmar que a constante da força restauradora é igual a
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre um oscilador amortecido, que é basicamente um sistema que oscila com alguma resistência ou “atrito”. A massa do objeto que está oscilando é de 200 gramas. A equação de movimento desse sistema é:
O que precisamos descobrir é a constante da força restauradora, normalmente representada por $ k
\mathrm{N}/\mathrm{m}$).
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação dada:
Essa é a equação diferencial que descreve o movimento do oscilador. Nela:
- $ x^{\prime \prime} $ é a aceleração,
- $ x^{\prime} $ é a velocidade,
- $ x $ é a posição.
Ela está na forma padrão de um oscilador harmônico amortecido:
Aqui, $ m $ é a massa, $ b $ é o coeficiente de amortecimento, e $ k $ é a constante da força restauradora que queremos encontrar.
Passo 3
Vamos comparar as duas equações para identificar os valores de $ b $ e $ k $ em relação à massa $ m $:
Na equação dada:
Na forma padrão:
Observamos que os coeficientes foram divididos por $ m $. Portanto:
Passo 4
Sabendo que a massa $ m $ é 200 gramas, precisamos convertê-la para quilogramas para ficar em unidades consistentes com o Sistema Internacional:
Passo 5
Agora, vamos encontrar $ k $ usando a relação $ \frac{k}{m} = 2 $:
Substituindo $ m = 0,2, kg $:
Resposta
A constante da força restauradora é igual a 0,4 N/m.