Para um oscilador harmônico simples (OHS) o deslocamento \boldsymbol{x} como função do tempo \boldsymbol{t} é dada por:
x(t)=\left(4,00.10^{-2}\right) \operatorname{sen}(2 \pi t)
Em unidades de medida do Sistema Internacional. A massa da partícula é 0,100 \mathrm{~kg}. Determinar:
A) a amplitude da oscilação;
B) a frequência angular;
C) a constante de fase (ou fase inicial);
D) a frequência;
E) o período;
F) a constante elástica;
G) a função horária da velocidade;
H) a função horária da aceleração;
I) os valores máximos da velocidade e da aceleração;
J) gráficos em função do tempo para o deslocamento, para a velocidade e para a aceleração, representando no eixo horizontal duas escalas: a escala de múltiplos e submúltiplos do período e a escala do ângulo de fase da oscilação.

Passo 1

O enunciado nos dá a lei do deslocamento de um oscilador harmônico simples e a massa da partícula. Vou listar claramente o que é dado e o que é pedido (peguei todos os valores do enunciado).
Dados:
  • A função do deslocamento é x(t)=\left(4,00\cdot10^{-2}\right)\operatorname{sen}(2\pi t) em unidades do SI. Ou seja, o coeficiente multiplicando a senóide é 4,00\cdot10^{-2} metros e o argumento é 2\pi t.
  • A massa é m=0,100\\ \mathrm{kg}.
O enunciado pede:
A) amplitude da oscilação;
B) frequência angular;
C) constante de fase (fase inicial);
D) frequência;
E) período;
F) constante elástica da mola;
G) função horária da velocidade;
H) função horária da aceleração;
I) valores máximos da velocidade e da aceleração;
J) instruções / dados para desenhar gráficos de x(t), v(t) e a(t) em função do tempo, com duas escalas no eixo horizontal: uma em múltiplos/submúltiplos do período e outra em ângulo de fase.
Observação importante (para evitar confusão): vou usar a forma padrão do OHS
x(t)=A\operatorname{sen}(\omega t+\varphi),
onde A é a amplitude (m), \omega é a frequência angular (rad/s) e \varphi é a fase inicial (rad). Não vou resolver nada ainda, só organizei o que temos e o que pedem.

Passo 2

Determinar a amplitude A.
O que significa amplitude: amplitude é o valor máximo (absoluto) do deslocamento — o coeficiente que multiplica a função seno/cosseno na expressão do movimento harmônico.
Na forma dada x(t)=\left(4,00\cdot10^{-2}\right)\operatorname{sen}(2\pi t) o coeficiente é exatamente a amplitude. Portanto:
A=4,00\cdot10^{-2}\\ \mathrm{m}=0,04\\ \mathrm{m}.
Explicação curta para a prova: identifique o número multiplicando \operatorname{sen}(\cdot); esse número é a amplitude.

Passo 3

Determinar a frequência angular \omega.
O que é frequência angular: em oscilador harmônico simples a função é \operatorname{sen}(\omega t+\varphi), logo o coeficiente que multiplica t dentro do seno é a frequência angular \omega (medida em rad/s). Aqui o argumento é 2\pi t, portanto
\omega=2\pi\\ \text{rad/s}.
Interpretação física curta: \omega indica quantos radianos o argumento da senóide percorre por segundo.

Passo 4

Determinar a constante de fase \varphi (fase inicial).
A fase inicial é o termo que somado ao produto \omega t aparece dentro do seno: \omega t+\varphi. Na expressão dada não há termo adicional, está simplesmente \operatorname{sen}(2\pi t). Isso corresponde a \varphi=0 (ou seja, um múltiplo inteiro de 2\pi, mas normalmente escolhemos \varphi=0). Assim:
\varphi=0\\ \text{rad}.
Verificação: x(0)=A\operatorname{sen}(\varphi)=A\operatorname{sen}(0)=0, que de fato é o valor inicial implícito na expressão dada.

Passo 5

Determinar a frequência f (Hz).
Relação entre \omega e f: \omega=2\pi f. Isolando f obtemos
f=\frac{\omega}{2\pi}.
Substituindo \omega=2\pi:
f=\frac{2\pi}{2\pi}=1\\ \text{Hz}.
Explicação: frequência é o número de oscilações completas por segundo; aqui a oscilação completa demora 1 segundo.

Passo 6

Determinar o período T.
Relação entre período e frequência: T=\dfrac{1}{f}. Como f=1\\ \text{Hz},
T=1\\ \text{s}.
Comentário prático: para desenhar gráficos é útil saber que uma oscilação completa leva 1 segundo.

Passo 7

Determinar a constante elástica k da mola.
Relação entre \omega, k e m para OHS (lei de Hooke + equações do movimento):
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}.
Isolando k:
k=m\omega^{2}.
Substituindo m=0,100\\ \mathrm{kg} e \omega=2\pi:
k=0,100\cdot(2\pi)^{2}=0,100\cdot4\pi^{2}=0,4\pi^{2}\\ \mathrm{N/m}.
Valor numérico aproximado:
k\approx0,4\pi^{2}\\ \mathrm{N/m}\approx3,95\\ \mathrm{N/m}.
Explicação didática: essa fórmula vem de escrever a equação da massa na mola m\ddot x=-kx e comparar com \ddot x + \omega^{2}x=0.

Passo 8

Derivar a função horária da velocidade v(t).
Definição: velocidade é a derivada do deslocamento em relação ao tempo, v(t)=\dfrac{dx}{dt}.
Temos x(t)=A\operatorname{sen}(\omega t+\varphi). Derivando usando regra da cadeia: derivada de \operatorname{sen}(u) é \cos(u)\cdot u'. Aqui u=\omega t+\varphi e u'=\omega. Portanto
v(t)=\frac{dx}{dt}=A\omega\cos(\omega t+\varphi).
Substituindo A=0,04, \omega=2\pi e \varphi=0:
v(t)=0,04\cdot2\pi\cos(2\pi t)=0,08\pi\cos(2\pi t)\\ \mathrm{m/s}.
Também podemos escrever o valor da amplitude da velocidade (usado depois):
v_{\max}=A\omega=0,08\pi\\ \mathrm{m/s}\approx0,251\\ \mathrm{m/s}.

Passo 9

Derivar a função horária da aceleração a(t).
Definição: aceleração é a derivada da velocidade (ou segunda derivada do deslocamento), a(t)=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}.
A partir de v(t)=A\omega\cos(\omega t+\varphi), derivando:
  • derivada de \cos(u) é -\sin(u)\cdot u', com u'=\omega.
    Logo
a(t)=\frac{dv}{dt}=-A\omega^{2}\operatorname{sen}(\omega t+\varphi).
Substituindo os valores:
a(t)=-0,04\cdot(2\pi)^{2}\operatorname{sen}(2\pi t)=-0,16\pi^{2}\operatorname{sen}(2\pi t)\\ \mathrm{m/s^{2}}.
A amplitude da aceleração (valor máximo em módulo) é
a_{\max}=A\omega^{2}=0,16\pi^{2}\\ \mathrm{m/s^{2}}\approx1,58\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 10

Calcular explicitamente os valores máximos da velocidade e da aceleração e explicar por que.
Razão: as funções v(t) e a(t) têm cosseno e seno com amplitude multiplicativa A\omega e A\omega^{2}. Como |\cos|\le1 e |\operatorname{sen}|\le1, os máximos em módulo são esses coeficientes.
Portanto:
v_{\max}=A\omega=0,04\cdot2\pi=0,08\pi\\ \mathrm{m/s}\approx0,251\\ \mathrm{m/s},
a_{\max}=A\omega^{2}=0,04\cdot(2\pi)^{2}=0,16\pi^{2}\\ \mathrm{m/s^{2}}\approx1,58\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Dica para prova: memorize que v_{\max}=A\omega e a_{\max}=A\omega^{2}; são relações diretas e rápidas de usar.

Passo 11

Fornecer instruções e pontos para construir os gráficos de x(t), v(t) e a(t) com as duas escalas horizontais (tempo em T e ângulo de fase).
  1. Escala horizontal dupla:
  • escala de tempo em valores de múltiplos/submúltiplos do período T. Como T=1\\ \mathrm{s}, é muito simples marcar ticks em t=-\tfrac{1}{2}T,\\\ 0,\\ \tfrac{1}{4}T,\\ \tfrac{1}{2}T,\\ \tfrac{3}{4}T,\\\ 1T,\\\ 1{,}25T,\\\ 1{,}5T,\\\ 2T, etc. Em segundos esses são t=-0,5\\ \mathrm{s},\\\ 0,\\\ 0,25\\ \mathrm{s},\\\ 0,5\\ \mathrm{s},\\\ 0,75\\ \mathrm{s},\\\ 1\\ \mathrm{s}, etc.
  • escala de fase (no mesmo eixo superior ou secundário): o ângulo de fase \phi_{\text{fase}}=\omega t. Como \omega=2\pi e T=1, a relação é \phi_{\text{fase}}=2\pi t/T. Nos ticks acima a fase correspondente é: para t=0\Rightarrow0, t=T/4\Rightarrow\pi/2, t=T/2\Rightarrow\pi, t=3T/4\Rightarrow3\pi/2, t=T\Rightarrow2\pi, etc. Marque a escala superior com 0,\\ \tfrac{\pi}{2},\\ \pi,\\ \tfrac{3\pi}{2},\\\ 2\pi,\\ \ldots.
  1. Funções a plotar (já obtidas nos passos anteriores):
x(t)=0,04\operatorname{sen}(2\pi t)\\ \mathrm{m},
v(t)=0,08\pi\cos(2\pi t)\\ \mathrm{m/s},
a(t)=-0,16\pi^{2}\operatorname{sen}(2\pi t)\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  1. Pontos-chave para desenhar (valores exatos nos principais instantes: t=0,\\ T/4,\\ T/2,\\\ 3T/4,\\ T):
  • Para t=0 (fase 0): x(0)=0,\quad v(0)=0,08\pi\\ \mathrm{m/s}\approx0,251\\ \mathrm{m/s},\quad a(0)=0.
  • Para t=\tfrac{T}{4}=0,25\\ \mathrm{s} (fase \tfrac{\pi}{2}): x\!\left(\tfrac{T}{4}\right)=0,04\\ \mathrm{m},\quad v\!\left(\tfrac{T}{4}\right)=0,\quad a\!\left(\tfrac{T}{4}\right)=-0,16\pi^{2}\\ \mathrm{m/s^{2}}\approx-1,58\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Para t=\tfrac{T}{2}=0,5\\ \mathrm{s} (fase \pi): x\!\left(\tfrac{T}{2}\right)=0,\quad v\!\left(\tfrac{T}{2}\right)=-0,08\pi\\ \mathrm{m/s}\approx-0,251\\ \mathrm{m/s},\quad a\!\left(\tfrac{T}{2}\right)=0.
  • Para t=\tfrac{3T}{4}=0,75\\ \mathrm{s} (fase \tfrac{3\pi}{2}): x\!\left(\tfrac{3T}{4}\right)=-0,04\\ \mathrm{m},\quad v\!\left(\tfrac{3T}{4}\right)=0,\quad a\!\left(\tfrac{3T}{4}\right)=+0,16\pi^{2}\\ \mathrm{m/s^{2}}\approx+1,58\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Para t=T=1\\ \mathrm{s} (fase 2\pi) os valores repetem os de t=0: x(T)=0,\quad v(T)=0,08\pi\\ \mathrm{m/s}\approx0,251\\ \mathrm{m/s},\quad a(T)=0.
  1. Como desenhar na prova sem calculadora:
  • Trace 3 gráficos (mesma largura horizontal). No eixo vertical ajuste a escala de modo que a amplitude máxima de x ocupe uma boa parte (por exemplo 0,04 m é pequeno — escolha 1 divisão = 0,01 m), para v use 1 divisão = 0,05\\ \mathrm{m/s} (assim v_{\max}\approx0,251 ocupa 5 divisões), e para a use 1 divisão = 0,5\\ \mathrm{m/s^{2}} (assim a_{\max}\approx1,58 ocupa ≈3 divisões). Marque os ticks de tempo em múltiplos/submúltiplos de T no eixo inferior e os ticks de fase ( 0,\tfrac{\pi}{2},\pi,\ldots) no eixo superior; lembre que fase = 2\pi t (em rad).
  • Conecte os pontos-chave com uma curva senoidal suave. Observe que v(t) está defasada em \tfrac{\pi}{2} à frente em relação a x(t) (cosseno versus seno) — ou seja, quando x é máximo v=0; quando x=0 e crescendo, v é máximo positivo.
  • Para o sinal da aceleração, note que a(t) tem mesma forma do deslocamento mas com sinal negativo e amplitude maior: a(t)=-\omega^{2}x(t). Assim a está defasada de 0 (mesma frequência) mas invertida em relação a x.
  1. Resumo prático para o desenho: use o conjunto de fórmulas e pontos acima; marque no eixo inferior t em unidades de T (por exemplo de -\tfrac{1}{2}T a 2T) e no eixo superior a fase \omega t em radianos ( 0,\tfrac{\pi}{2},\pi,\ldots). Isso atende ao pedido de duas escalas horizontais.

Passo 12

Pequena recapitulação motivacional (rápida): você já tem tudo que precisa para responder cada item na prova rapidamente: identifique amplitude diretamente, leia \omega do argumento, calcule f e T por fórmulas diretas, derive para obter v(t) e a(t), e use k=m\omega^{2} para a constante elástica. Se ficar nervoso, lembre da sequência: A\Rightarrow\omega\Rightarrow f,T\Rightarrow v(t),a(t)\Rightarrow v_{\max},a_{\max}. Vamos!

Resposta

A) A=4,00\cdot10^{-2}\\ \mathrm{m}=0,04\\ \mathrm{m}
B) \omega=2\pi\\ \mathrm{rad/s}
C) \varphi=0\\ \mathrm{rad}
D) f=1\\ \mathrm{Hz}
E) T=1\\ \mathrm{s}
F) k=m\omega^{2}=0,4\pi^{2}\\ \mathrm{N/m}\approx3,95\\ \mathrm{N/m}
G) v(t)=0,08\pi\cos(2\pi t)\\ \mathrm{m/s}
H) a(t)=-0,16\pi^{2}\operatorname{sen}(2\pi t)\\ \mathrm{m/s^{2}}
I) v_{\max}=0,08\pi\\ \mathrm{m/s}\approx0,251\\ \mathrm{m/s}
\quad a_{\max}=0,16\pi^{2}\\ \mathrm{m/s^{2}}\approx1,58\\ \mathrm{m/s^{2}}
J) Gráficos: usar as funções do itens G) e H) com a escala horizontal marcada em múltiplos/submúltiplos de T (por exemplo t=0,\tfrac{T}{4},\tfrac{T}{2},\tfrac{3T}{4},T) e uma escala superior indicando a fase \omega t em radianos ( 0,\tfrac{\pi}{2},\pi,\tfrac{3\pi}{2},2\pi); pontos-chave para plotagem: veja os valores no passo 11 (por exemplo x(0)=0, x(\tfrac{T}{4})=0,04\\ \mathrm{m}, etc.).

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