Para um oscilador harmônico simples (OHS) o deslocamento
como função do tempo
é dada por:
Em unidades de medida do Sistema Internacional. A massa da partícula é
. Determinar:
A) a amplitude da oscilação;
B) a frequência angular;
C) a constante de fase (ou fase inicial);
D) a frequência;
E) o período;
F) a constante elástica;
G) a função horária da velocidade;
H) a função horária da aceleração;
I) os valores máximos da velocidade e da aceleração;
J) gráficos em função do tempo para o deslocamento, para a velocidade e para a aceleração, representando no eixo horizontal duas escalas: a escala de múltiplos e submúltiplos do período e a escala do ângulo de fase da oscilação.
A) a amplitude da oscilação;
B) a frequência angular;
C) a constante de fase (ou fase inicial);
D) a frequência;
E) o período;
F) a constante elástica;
G) a função horária da velocidade;
H) a função horária da aceleração;
I) os valores máximos da velocidade e da aceleração;
J) gráficos em função do tempo para o deslocamento, para a velocidade e para a aceleração, representando no eixo horizontal duas escalas: a escala de múltiplos e submúltiplos do período e a escala do ângulo de fase da oscilação.
Passo 1
O enunciado nos dá a lei do deslocamento de um oscilador harmônico simples e a massa da partícula. Vou listar claramente o que é dado e o que é pedido (peguei todos os valores do enunciado).
Dados:
- A função do deslocamento é
em unidades do SI. Ou seja, o coeficiente multiplicando a senóide é metros e o argumento é . - A massa é
.
O enunciado pede:
A) amplitude da oscilação;
B) frequência angular;
C) constante de fase (fase inicial);
D) frequência;
E) período;
F) constante elástica da mola;
G) função horária da velocidade;
H) função horária da aceleração;
I) valores máximos da velocidade e da aceleração;
J) instruções / dados para desenhar gráficos de ,
e
em função do tempo, com duas escalas no eixo horizontal: uma em múltiplos/submúltiplos do período e outra em ângulo de fase.
A) amplitude da oscilação;
B) frequência angular;
C) constante de fase (fase inicial);
D) frequência;
E) período;
F) constante elástica da mola;
G) função horária da velocidade;
H) função horária da aceleração;
I) valores máximos da velocidade e da aceleração;
J) instruções / dados para desenhar gráficos de
Observação importante (para evitar confusão): vou usar a forma padrão do OHS
onde
é a amplitude (m),
é a frequência angular (rad/s) e
é a fase inicial (rad). Não vou resolver nada ainda, só organizei o que temos e o que pedem.
Passo 2
Determinar a amplitude
.
O que significa amplitude: amplitude é o valor máximo (absoluto) do deslocamento — o coeficiente que multiplica a função seno/cosseno na expressão do movimento harmônico.
Na forma dada
o coeficiente é exatamente a amplitude. Portanto:
Explicação curta para a prova: identifique o número multiplicando
; esse número é a amplitude.
Passo 3
Determinar a frequência angular
.
O que é frequência angular: em oscilador harmônico simples a função é
, logo o coeficiente que multiplica
dentro do seno é a frequência angular
(medida em rad/s). Aqui o argumento é
, portanto
Interpretação física curta:
indica quantos radianos o argumento da senóide percorre por segundo.
Passo 4
Determinar a constante de fase
(fase inicial).
A fase inicial é o termo que somado ao produto
aparece dentro do seno:
. Na expressão dada não há termo adicional, está simplesmente
. Isso corresponde a
(ou seja, um múltiplo inteiro de
, mas normalmente escolhemos
). Assim:
Verificação:
, que de fato é o valor inicial implícito na expressão dada.
Passo 5
Determinar a frequência
(Hz).
Relação entre
e
:
. Isolando
obtemos
Substituindo
:
Explicação: frequência é o número de oscilações completas por segundo; aqui a oscilação completa demora 1 segundo.
Passo 6
Determinar o período
.
Relação entre período e frequência:
. Como
,
Comentário prático: para desenhar gráficos é útil saber que uma oscilação completa leva
segundo.
Passo 7
Determinar a constante elástica
da mola.
Relação entre
,
e
para OHS (lei de Hooke + equações do movimento):
Isolando
:
Substituindo
e
:
Valor numérico aproximado:
Explicação didática: essa fórmula vem de escrever a equação da massa na mola
e comparar com
.
Passo 8
Derivar a função horária da velocidade
.
Definição: velocidade é a derivada do deslocamento em relação ao tempo,
.
Temos
. Derivando usando regra da cadeia: derivada de
é
. Aqui
e
. Portanto
Substituindo
,
e
:
Também podemos escrever o valor da amplitude da velocidade (usado depois):
Passo 9
Derivar a função horária da aceleração
.
Definição: aceleração é a derivada da velocidade (ou segunda derivada do deslocamento),
.
A partir de
, derivando:
- derivada de
é , com .
Logo
Substituindo os valores:
A amplitude da aceleração (valor máximo em módulo) é
Passo 10
Calcular explicitamente os valores máximos da velocidade e da aceleração e explicar por que.
Razão: as funções
e
têm cosseno e seno com amplitude multiplicativa
e
. Como
e
, os máximos em módulo são esses coeficientes.
Portanto:
Dica para prova: memorize que
e
; são relações diretas e rápidas de usar.
Passo 11
Fornecer instruções e pontos para construir os gráficos de
,
e
com as duas escalas horizontais (tempo em
e ângulo de fase).
- Escala horizontal dupla:
- escala de tempo em valores de múltiplos/submúltiplos do período
. Como , é muito simples marcar ticks em , etc. Em segundos esses são etc. - escala de fase (no mesmo eixo superior ou secundário): o ângulo de fase
. Como e , a relação é . Nos ticks acima a fase correspondente é: para , , , , , etc. Marque a escala superior com .
- Funções a plotar (já obtidas nos passos anteriores):
- Pontos-chave para desenhar (valores exatos nos principais instantes:
):
- Para
(fase ): - Para
(fase ): - Para
(fase ): - Para
(fase ): - Para
(fase ) os valores repetem os de :
- Como desenhar na prova sem calculadora:
- Trace 3 gráficos (mesma largura horizontal). No eixo vertical ajuste a escala de modo que a amplitude máxima de
ocupe uma boa parte (por exemplo 0,04 m é pequeno — escolha 1 divisão = 0,01 m), para use 1 divisão = (assim ocupa 5 divisões), e para use 1 divisão = (assim ocupa ≈3 divisões). Marque os ticks de tempo em múltiplos/submúltiplos de no eixo inferior e os ticks de fase ( ) no eixo superior; lembre que fase = (em rad). - Conecte os pontos-chave com uma curva senoidal suave. Observe que
está defasada em à frente em relação a (cosseno versus seno) — ou seja, quando é máximo ; quando e crescendo, é máximo positivo. - Para o sinal da aceleração, note que
tem mesma forma do deslocamento mas com sinal negativo e amplitude maior: . Assim está defasada de (mesma frequência) mas invertida em relação a .
- Resumo prático para o desenho: use o conjunto de fórmulas e pontos acima; marque no eixo inferior
em unidades de (por exemplo de a ) e no eixo superior a fase em radianos ( ). Isso atende ao pedido de duas escalas horizontais.
Passo 12
Pequena recapitulação motivacional (rápida): você já tem tudo que precisa para responder cada item na prova rapidamente: identifique amplitude diretamente, leia
do argumento, calcule
e
por fórmulas diretas, derive para obter
e
, e use
para a constante elástica. Se ficar nervoso, lembre da sequência:
. Vamos!
Resposta
A)
B)
C)
D)
E)
F)
G)
H)
I)
J) Gráficos: usar as funções do itens G) e H) com a escala horizontal marcada em múltiplos/submúltiplos de (por exemplo
) e uma escala superior indicando a fase
em radianos (
); pontos-chave para plotagem: veja os valores no passo 11 (por exemplo
,
, etc.).
B)
C)
D)
E)
F)
G)
H)
I)
J) Gráficos: usar as funções do itens G) e H) com a escala horizontal marcada em múltiplos/submúltiplos de