Preencher na tabela seguinte os valores de fase da oscilação, frequência angular, frequência e período (escrever as unidades de medida considerando o Sistema Internacional).
\boldsymbol{x}(\boldsymbol{t}) Fase: \boldsymbol{\omega} \boldsymbol{t}+\Phi Frequência angular: \boldsymbol{\omega} Frequência: f Período: T Constante de fase: \Phi
x(t)=\left(5,00.10^{-2}\right) \cos (t)
x(t)=\left(5,00.10^{-2}\right) \cos (2 t)
x(t)=\left(5,00.10^{-2}\right) \cos (0,5 t)
x(t)=\left(5,00.10^{-2}\right) \cos (\pi t)
x(t)=\left(5,00.10^{-2}\right) \cos (2 \pi t)
x(t)=\left(5,00.10^{-2}\right) \cos \left(\frac{\pi}{2} t\right)

Passo 1

O enunciado pede preencher, para cada função x(t) dada, os seguintes itens: a expressão da fase \omega t+\Phi, a frequência angular \omega (em \text{rad/s}), a frequência f (em \text{Hz}), o período T (em \text{s}) e a constante de fase \Phi (em rad).
As seis funções fornecidas são (observe que peguei o valor da amplitude tal como escrito no enunciado):
  • x(t)=\left(5,00\cdot10^{-2}\right)\cos(t)
  • x(t)=\left(5,00\cdot10^{-2}\right)\cos(2t)
  • x(t)=\left(5,00\cdot10^{-2}\right)\cos(0,5t)
  • x(t)=\left(5,00\cdot10^{-2}\right)\cos(\pi t)
  • x(t)=\left(5,00\cdot10^{-2}\right)\cos(2\pi t)
  • x(t)=\left(5,00\cdot10^{-2}\right)\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}t\right)
Informação útil que já está na tabela: a amplitude é A=\left(5,00\cdot10^{-2}\right)\\ \text{m} (unidade SI). As perguntas por linha da tabela são exatamente os cinco itens citados acima.

Passo 2

Lembrete da forma padrão e das fórmulas que vamos usar (aqui explico devagarinho):
  • A forma padrão de oscilação harmónica é x(t)=A\cos(\omega t+\Phi).
    • A é a amplitude (unidade: \text{m} no SI).
    • \omega é a frequência angular (unidade: \text{rad/s}).
    • f é a frequência em hertz ( \text{Hz} ou \text{s}^{-1}).
    • T é o período em segundos ( \text{s}).
    • \Phi é a constante de fase (em radianos).
  • Relações entre \omega, f e T: f=\frac{\omega}{2\pi},\qquad T=\frac{1}{f}=\frac{2\pi}{\omega}.Explicação curta: a função cosseno repete quando o argumento aumenta de 2\pi, ou seja \omega T=2\pi, daí T=2\pi/\omega; como f=1/T obtemos f=\omega/(2\pi).
  • A constante de fase \Phi é o termo independente de t que aparece dentro do cosseno. Se a função aparece como \cos(\text{coef}\cdot t) sem soma de constante, então \Phi=0.
Agora aplicamos isso linha a linha, extraindo \omega como o coeficiente multiplicando t dentro do cosseno, escrevendo a fase \omega t+\Phi, calculando f e T em forma exata e aproximada e indicando \Phi.

Passo 3

Primeira linha: x(t)=\left(5,00\cdot10^{-2}\right)\cos(t).
  • Identificando o coeficiente: o argumento é t, logo \omega=1\\ \text{rad/s}.
  • A fase fica \omega t+\Phi = 1\cdot t + 0, ou simplesmente \;t+0.
  • A constante de fase é \Phi=0\\ \text{rad} (pois não há termo independente de t).
  • Frequência: f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{1}{2\pi}\\ \text{Hz}\approx 0,159\\ \text{Hz}.
  • Período: T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\\ \text{s}\approx 6,283\\ \text{s}.

Passo 4

Segunda linha: x(t)=\left(5,00\cdot10^{-2}\right)\cos(2t).
  • Coeficiente: \omega=2\\ \text{rad/s}.
  • Fase: \omega t+\Phi = 2t+0.
  • \Phi=0\\ \text{rad}.
  • Frequência: f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{2}{2\pi}=\frac{1}{\pi}\\ \text{Hz}\approx 0,318\\ \text{Hz}.
  • Período: T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{2}=\pi\\ \text{s}\approx 3,142\\ \text{s}.

Passo 5

Terceira linha: x(t)=\left(5,00\cdot10^{-2}\right)\cos(0,5t) (ou seja \cos(0{,}5\,t)).
  • Coeficiente: \omega=0{,}5\\ \text{rad/s}.
  • Fase: \omega t+\Phi = 0{,}5\,t+0.
  • \Phi=0\\ \text{rad}.
  • Frequência: f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{0{,}5}{2\pi}=\frac{1}{4\pi}\\ \text{Hz}\approx 0,0796\\ \text{Hz}.
  • Período: T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{0{,}5}=4\pi\\ \text{s}\approx 12,566\\ \text{s}.

Passo 6

Quarta linha: x(t)=\left(5,00\cdot10^{-2}\right)\cos(\pi t).
  • Coeficiente: \omega=\pi\\ \text{rad/s}.
  • Fase: \omega t+\Phi = \pi t + 0.
  • \Phi=0\\ \text{rad}.
  • Frequência: f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{\pi}{2\pi}=\frac{1}{2}\\ \text{Hz}=0{,}5\\ \text{Hz}.
  • Período: T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{\pi}=2\\ \text{s}.

Passo 7

Quinta linha: x(t)=\left(5,00\cdot10^{-2}\right)\cos(2\pi t).
  • Coeficiente: \omega=2\pi\\ \text{rad/s}.
  • Fase: \omega t+\Phi = 2\pi t + 0.
  • \Phi=0\\ \text{rad}.
  • Frequência: f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{2\pi}{2\pi}=1\\ \text{Hz}.
  • Período: T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{2\pi}=1\\ \text{s}.

Passo 8

Sexta linha: x(t)=\left(5,00\cdot10^{-2}\right)\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}t\right).
  • Coeficiente: \omega=\dfrac{\pi}{2}\\ \text{rad/s}.
  • Fase: \omega t+\Phi = \dfrac{\pi}{2}t + 0.
  • \Phi=0\\ \text{rad}.
  • Frequência: f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{\tfrac{\pi}{2}}{2\pi}=\frac{1}{4}\\ \text{Hz}=0{,}25\\ \text{Hz}.
  • Período: T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{\tfrac{\pi}{2}}=4\\ \text{s}.

Resposta

x(t)=\left(5,00\cdot10^{-2}\right)\cos(t):\\ \text{Fase }=t+0,\\ \omega=1\\ \text{rad/s},\\ f=\dfrac{1}{2\pi}\\ \text{Hz}\approx 0,159\\ \text{Hz},\\ T=2\pi\\ \text{s}\approx 6,283\\ \text{s},\\ \Phi=0\\ \text{rad}
x(t)=\left(5,00\cdot10^{-2}\right)\cos(2t):\\ \text{Fase }=2t+0,\\ \omega=2\\ \text{rad/s},\\ f=\dfrac{1}{\pi}\\ \text{Hz}\approx 0,318\\ \text{Hz},\\ T=\pi\\ \text{s}\approx 3,142\\ \text{s},\\ \Phi=0\\ \text{rad}
x(t)=\left(5,00\cdot10^{-2}\right)\cos(0,5t):\\ \text{Fase }=0{,}5t+0,\\ \omega=0{,}5\\ \text{rad/s},\\ f=\dfrac{1}{4\pi}\\ \text{Hz}\approx 0,0796\\ \text{Hz},\\ T=4\pi\\ \text{s}\approx 12,566\\ \text{s},\\ \Phi=0\\ \text{rad}
x(t)=\left(5,00\cdot10^{-2}\right)\cos(\pi t):\\ \text{Fase }=\pi t+0,\\ \omega=\pi\\ \text{rad/s},\\ f=\dfrac{1}{2}\\ \text{Hz}=0{,}5\\ \text{Hz},\\ T=2\\ \text{s},\\ \Phi=0\\ \text{rad}
x(t)=\left(5,00\cdot10^{-2}\right)\cos(2\pi t):\\ \text{Fase }=2\pi t+0,\\ \omega=2\pi\\ \text{rad/s},\\ f=1\\ \text{Hz},\\ T=1\\ \text{s},\\ \Phi=0\\ \text{rad}
x(t)=\left(5,00\cdot10^{-2}\right)\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}t\right):\\ \text{Fase }=\dfrac{\pi}{2}t+0,\\ \omega=\dfrac{\pi}{2}\\ \text{rad/s},\\ f=\dfrac{1}{4}\\ \text{Hz}=0{,}25\\ \text{Hz},\\ T=4\\ \text{s},\\ \Phi=0\\ \text{rad}

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