Para um oscilador harmônico simples (OHS) a frequência angular é 2,00 \mathrm{rad} / \mathrm{s} e o deslocamento máximo é 5,00 \mathrm{~cm}. Sabe-se que no instante zero a partícula apresenta deslocamento igual à metade do deslocamento máximo e que neste instante o deslocamento de extensão da mola está aumentando. Para uma função do deslocamento com o tempo do tipo cosseno determinar a fase inicial e escrever a referida função do deslocamento com o tempo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo que importa para a resolução):
  • frequência angular: \omega = 2,00\\ \mathrm{rad/s}.
  • deslocamento máximo (amplitude): A = 5,00\\ \mathrm{cm}.
  • no instante t=0 o deslocamento é a metade da amplitude: x(0)=\dfrac{A}{2}.
  • no instante t=0 o deslocamento está aumentando (isto é, a velocidade instantânea v(0)>0).
    O que se pede:
  • determinar a fase inicial (ou fase de coerência) \varphi para uma função do tipo cosseno;
  • escrever a função do deslocamento no tempo x(t) usando essa fase.

Passo 2

Escolhemos a forma cosseno para o movimento harmônico porque o enunciado pede explicitamente “função do deslocamento com o tempo do tipo cosseno”. A forma geral é
x(t)=A\cos\!\bigl(\omega t+\varphi\bigr),
onde:
  • x(t) é o deslocamento no instante t;
  • A é a amplitude (deslocamento máximo), aqui A=5,00\\ \mathrm{cm};
  • \omega é a frequência angular, aqui \omega=2,00\\ \mathrm{rad/s};
  • \varphi é a fase inicial (o que queremos achar).
    Explicando rapidamente: a fase \varphi desloca a curva em relação ao tempo. Determinar \varphi é equivalente a “alinhar” a cosseno de forma que em t=0 a posição e o sentido do movimento coincidam com o enunciado.

Passo 3

Aplicamos a condição do deslocamento em t=0. Substituindo t=0 em x(t) obtemos
x(0)=A\cos(\varphi).
Pelo enunciado x(0)=\dfrac{A}{2}. Logo
A\cos(\varphi)=\frac{A}{2}.
Dividindo por A (positivo) segue
\cos(\varphi)=\frac{1}{2}.

Passo 4

Resolvendo \cos(\varphi)=\dfrac{1}{2} sabemos que as soluções no círculo trigonométrico são
\varphi = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Isto dá dois valores principais no intervalo [0,2\pi): \varphi=\dfrac{\pi}{3} e \varphi=\dfrac{5\pi}{3} (ou, se preferir ângulos negativos, \varphi=-\dfrac{\pi}{3} é equivalente a \dfrac{5\pi}{3}). Ainda não escolhemos qual é o correto; precisamos usar a informação sobre o sentido do movimento em t=0.

Passo 5

Para usar a informação “o deslocamento está aumentando em t=0” calculamos a velocidade associada a x(t). Diferenciando:
v(t)=\frac{dx}{dt}=-A\omega \sin(\omega t+\varphi).
Em t=0:
v(0)=-A\omega \sin(\varphi).
Sabemos que v(0)>0. Como A>0 e \omega>0, a condição v(0)>0 implica
-\,\sin(\varphi)>0\quad\Longrightarrow\quad \sin(\varphi)<0.
Portanto, entre as soluções que deram \cos(\varphi)=\tfrac{1}{2}, precisamos daquelas com seno negativo.

Passo 6

Avaliaremos o sinal do seno nas duas soluções candidatas:
  • Para \varphi=\dfrac{\pi}{3}: \sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}>0. Isso daria v(0)=-A\omega\cdot(+), ou seja v(0)<0. Não serve.
  • Para \varphi=-\dfrac{\pi}{3} (que é equivalente a \varphi=\dfrac{5\pi}{3}): \sin\!\bigl(-\tfrac{\pi}{3}\bigr)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}<0. Assim v(0)=-A\omega\cdot(-)=+A\omega\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}>0, que satisfaz a condição.
    Portanto a fase inicial que corresponde ao enunciado é
\varphi = -\frac{\pi}{3}\\ \text{(rad)},
ou, se preferir na faixa [0,2\pi),
\varphi = \frac{5\pi}{3}\\ \text{(rad)}.

Passo 7

Agora escrevemos a função do deslocamento com os valores numéricos. Mantendo a amplitude em centímetros (como dado) e todos os parâmetros numéricos com as casas indicadas:
x(t)=5,00\\ \mathrm{cm}\,\cos\!\Bigl(2,00\\ t - \frac{\pi}{3}\Bigr).
Se quiser em metros (padrão SI), basta A=0,050\\ \mathrm{m}, então
x(t)=0,050\\ \mathrm{m}\,\cos\!\Bigl(2,00\\ t - \frac{\pi}{3}\Bigr).

Passo 8

Resumo rápido de método para a prova (dicas práticas):
  • Escreva sempre x(t)=A\cos(\omega t+\varphi) e aplique x(0)=A\cos\varphi para achar \cos\varphi.
  • Use a velocidade v(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi) para verificar o sinal e escolher entre soluções \pm da fase.
  • Se precisar, converta ângulos equivalentes ( -\pi/3 e 5\pi/3) para a faixa que o professor preferir.
    Boa! Você já tem a resposta e um procedimento curtinho para repetir durante a prova — respira fundo e confia.

Resposta

\varphi = -\dfrac{\pi}{3}\\ \text{rad}
x(t)=5,00\\ \mathrm{cm}\,\cos\!\Bigl(2,00\\ t - \frac{\pi}{3}\Bigr)

Exercícios relacionados