Para um oscilador harmônico simples (OHS) a frequência angular é
e o deslocamento máximo é
. Sabe-se que no instante zero a partícula apresenta deslocamento igual à metade do deslocamento máximo e que neste instante o deslocamento de extensão da mola está aumentando. Para uma função do deslocamento com o tempo do tipo cosseno determinar a fase inicial e escrever a referida função do deslocamento com o tempo.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo que importa para a resolução):
- frequência angular:
. - deslocamento máximo (amplitude):
. - no instante
o deslocamento é a metade da amplitude: . - no instante
o deslocamento está aumentando (isto é, a velocidade instantânea ).
O que se pede: - determinar a fase inicial (ou fase de coerência)
para uma função do tipo cosseno; - escrever a função do deslocamento no tempo
usando essa fase.
Passo 2
Escolhemos a forma cosseno para o movimento harmônico porque o enunciado pede explicitamente “função do deslocamento com o tempo do tipo cosseno”. A forma geral é
onde:
-
é o deslocamento no instante ; -
é a amplitude (deslocamento máximo), aqui ; -
é a frequência angular, aqui ; -
é a fase inicial (o que queremos achar).
Explicando rapidamente: a fasedesloca a curva em relação ao tempo. Determinar é equivalente a “alinhar” a cosseno de forma que em a posição e o sentido do movimento coincidam com o enunciado.
Passo 3
Aplicamos a condição do deslocamento em
. Substituindo
em
obtemos
Pelo enunciado
. Logo
Dividindo por
(positivo) segue
Passo 4
Resolvendo
sabemos que as soluções no círculo trigonométrico são
Isto dá dois valores principais no intervalo
:
e
(ou, se preferir ângulos negativos,
é equivalente a
). Ainda não escolhemos qual é o correto; precisamos usar a informação sobre o sentido do movimento em
.
Passo 5
Para usar a informação “o deslocamento está aumentando em
” calculamos a velocidade associada a
. Diferenciando:
Em
:
Sabemos que
. Como
e
, a condição
implica
Portanto, entre as soluções que deram
, precisamos daquelas com seno negativo.
Passo 6
Avaliaremos o sinal do seno nas duas soluções candidatas:
- Para
: . Isso daria , ou seja . Não serve. - Para
(que é equivalente a ): . Assim , que satisfaz a condição.
Portanto a fase inicial que corresponde ao enunciado é
ou, se preferir na faixa
,
Passo 7
Agora escrevemos a função do deslocamento com os valores numéricos. Mantendo a amplitude em centímetros (como dado) e todos os parâmetros numéricos com as casas indicadas:
Se quiser em metros (padrão SI), basta
, então
Passo 8
Resumo rápido de método para a prova (dicas práticas):
- Escreva sempre
e aplique para achar . - Use a velocidade
para verificar o sinal e escolher entre soluções da fase. - Se precisar, converta ângulos equivalentes (
e ) para a faixa que o professor preferir.
Boa! Você já tem a resposta e um procedimento curtinho para repetir durante a prova — respira fundo e confia.