Em um oscilador livre a massa m=100 \mathrm{~g} e a constante da força k=3,6 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. Em t=0,0 \mathrm{~s}, ele apresenta um deslocamento x=-2,0 \mathrm{~cm} e velocidade v=12 \sqrt{3} \mathrm{cm} / \mathrm{s}.
a) (0,5) Qual o periodo desse oscilador
b) (1,5) Calcule a posição e a velocidade para t=1,0 \pi \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado descreve um oscilador harmónico livre com massa
\,m=100\,\mathrm{g}=0,1\,\mathrm{kg}
e constante elástica
\,k=3,6\,\mathrm{N/m}.
Nos dão em t=0 o deslocamento inicial
\,x(0)=-2,0\,\mathrm{cm}=-0,02\,\mathrm{m}
e a velocidade inicial
\,v(0)=12\sqrt{3}\,\mathrm{cm/s}=0,12\sqrt{3}\,\mathrm{m/s}.
Pede-se:
a) o período T do movimento;
b) o valor de x(t) e v(t) em t=1,0\pi\,\mathrm{s}.

Passo 2

Para um oscilador livre a frequência angular é
\displaystyle \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}.
Substituindo
\omega=\sqrt{\frac{3,6}{0,1}}=\sqrt{36}=6\;\mathrm{rad/s}.
O período é
T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{6}=\frac{\pi}{3}\;\mathrm{s}.

Passo 3

A solução geral do deslocamento é
x(t)=C\cos(\omega t)+D\sin(\omega t),
onde C e D serão fixados pelas condições iniciais.

Passo 4

Em t=0 temos
x(0)=C=-0,02\;\mathrm{m},
e
v(t)=\frac{dx}{dt}=-C\,\omega\sin(\omega t)+D\,\omega\cos(\omega t).
Logo em t=0:
v(0)=D\,\omega=0,12\sqrt{3}\quad\Longrightarrow\quad D=\frac{0,12\sqrt{3}}{6}=0,02\sqrt{3}\;\mathrm{m}.

Passo 5

Então
x(t)=-0,02\cos(6t)+0,02\sqrt{3}\,\sin(6t),
v(t)=0,12\sin(6t)+0,12\sqrt{3}\,\cos(6t).
Para t=1,0\pi temos 6t=6\pi, e
\sin(6\pi)=0, \cos(6\pi)=1.
Logo
x(1,0\pi)=-0,02\cdot1+0= -0,02\;\mathrm{m}=-2,0\,\mathrm{cm},
v(1,0\pi)=0+0,12\sqrt{3}\cdot1=0,12\sqrt{3}\;\mathrm{m/s} =12\sqrt{3}\,\mathrm{cm/s}.

Resposta

a) T=\dfrac{\pi}{3}\,\mathrm{s}.
b) x(1,0\pi)=-2,0\,\mathrm{cm}, v(1,0\pi)=12\sqrt{3}\,\mathrm{cm/s}.

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