(2,0) Três ondas transversais propagam-se ao longo de uma corda muito comprida. Suas equações são dadas por:
\begin{aligned} & y_{1}=0.0030 \sin (0.80 \pi x-10 \pi t) \\\ & y_{2}=0.0040 \sin (0.80 \pi x-10 \pi t+\pi / 2) \\\ & y_{3}=0.0010 \sin (0.80 \pi x-10 \pi t-\pi / 2) \end{aligned}
(Unidades no SI) Determine: a expressão da onda resultante, formada pela superposição de y_{1}, y_{2} e y_{3}.

Passo 1

O enunciado dá três ondas transversais na mesma corda com número de onda k=0{,}80\pi e frequência angular \omega=10\pi, mas com amplitudes e defasagens diferentes. Pelo princípio da superposição, a onda resultante é
y=y_{1}+y_{2}+y_{3}.
Para somar essas senóides de mesma forma de onda, vamos usar representação fasorial (adição vetorial de amplitudes e fases).

Passo 2

Definimos a fase comum
\theta = 0{,}80\pi x \;-\;10\pi t.
Escrevemos cada onda como
y_{j}=A_{j}\,\sin\bigl(\theta+\varphi_{j}\bigr),
onde
A_{1}=0{,}003,\\ \varphi_{1}=0;\quad A_{2}=0{,}004,\\ \varphi_{2}=\tfrac{\pi}{2};\quad A_{3}=0{,}001,\\ \varphi_{3}=-\tfrac{\pi}{2}.

Passo 3

Na representação fasorial, cada onda vira um vetor complexo A_{j}e^{i\varphi_{j}}. A soma dos vetores é
V = A_{1}e^{i\varphi_{1}} + A_{2}e^{i\varphi_{2}} + A_{3}e^{i\varphi_{3}}.
Separamos em partes real e imaginária:
\Re(V)=A_{1}\cos\varphi_{1}+A_{2}\cos\varphi_{2}+A_{3}\cos\varphi_{3} =0{,}003+0+0=0{,}003,
\Im(V)=A_{1}\sin\varphi_{1}+A_{2}\sin\varphi_{2}+A_{3}\sin\varphi_{3} =0+0{,}004-0{,}001=0{,}003.

Passo 4

A amplitude resultante A_{\mathrm{R}} e a fase \varphi_{\mathrm{R}} são
A_{\mathrm{R}} =\sqrt{\bigl(\Re(V)\bigr)^{2}+\bigl(\Im(V)\bigr)^{2}} =\sqrt{(0{,}003)^{2}+(0{,}003)^{2}} =0{,}003\sqrt{2}\approx0{,}00424,
\varphi_{\mathrm{R}} =\arctan\!\bigl(\tfrac{\Im(V)}{\Re(V)}\bigr) =\arctan(1) =\tfrac{\pi}{4}.

Resposta

y=0{,}003\sqrt{2}\,\sin\bigl(0{,}80\pi x-10\pi t+\tfrac{\pi}{4}\bigr) \approx0{,}00424\,\sin\bigl(0{,}80\pi x-10\pi t+\tfrac{\pi}{4}\bigr).

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