Questão 3) Um jovem ganhou de natal uma fonte de luz novinha em folha. Parte da festa de aniversário foi montar um experimento de fenda única para determinar quais comprimentos de onda seriam emitidos pela fonte. O jovem mediu as distâncias h_{n} do eixo central onde apareciam as três primeiras franjas monocromáticas: h_{1}=4,5 \mathrm{~mm}, h_{2}=5,32 \mathrm{~mm} e h_{3}=6,32 \mathrm{~mm}.
a) Determine os comprimentos de onda emitidos pela fonte para os três primeiros máximos.
b) O máximo seguinte é para h_{4}=7,5 \mathrm{~mm}. Esse é um novo comprimento de onda ou um segundo máximo para uma das outras três frequências? Justifique.
(Dados: a=0,3 \mathrm{~mm}, D=2 \mathrm{~m} )

Passo 1

Resumindo, temos um sistema de dupla fenda com separação a=0,3\\ \mathrm{mm} e tela a distância D=2\\ \mathrm{m}. Medimos as posições h_n dos máximos de interferência para n=1,2,3,4. Queremos:
  • (a) os comprimentos de onda \lambda_n correspondentes aos três primeiros máximos n=1,2,3,
  • (b) verificar se o máximo em h_4=7,5\\ \mathrm{mm} é um novo comprimento de onda ou um segundo máximo para uma das três linhas já encontradas.
O conteúdo envolvido é interferência em dupla fenda, usando a condição dos máximos
\sin\theta_n = \frac{n\,\lambda}{a},
e a aproximação para pequenos \theta:
h_n \approx D\,\tan\theta_n \approx D\,\sin\theta_n.
Daí obtemos
\lambda = \frac{a\,h_n}{n\,D}.

Passo 2

Aplicando a fórmula
\lambda_n = \frac{a\,h_n}{n\,D},
com a=0,3\\ \mathrm{mm}=3{,}0\times10^{-4}\,\mathrm{m} e D=2\,\mathrm{m}, e convertendo h_n para metros:
  • h_1=4{,}5\\ \mathrm{mm}=4{,}5\times10^{-3}\,\mathrm{m},
  • h_2=5{,}32\\ \mathrm{mm}=5{,}32\times10^{-3}\,\mathrm{m},
  • h_3=6{,}32\\ \mathrm{mm}=6{,}32\times10^{-3}\,\mathrm{m}.

Passo 3

Calculamos cada \lambda_n:
\lambda_1 = \frac{3{,}0\times10^{-4}\times4{,}5\times10^{-3}}{1\cdot2} =6{,}75\times10^{-7}\,\mathrm{m}=675\\ \mathrm{nm},
\lambda_2 = \frac{3{,}0\times10^{-4}\times5{,}32\times10^{-3}}{2\cdot2} =3{,}99\times10^{-7}\,\mathrm{m}=399\\ \mathrm{nm},
\lambda_3 = \frac{3{,}0\times10^{-4}\times6{,}32\times10^{-3}}{3\cdot2} =3{,}16\times10^{-7}\,\mathrm{m}=316\\ \mathrm{nm}.

Passo 4

Para h_4=7{,}5\\ \mathrm{mm}=7{,}5\times10^{-3}\,\mathrm{m}, verificamos se existe algum par (n,\lambda_i) com
h_4 = \frac{n\,\lambda_i\,D}{a} \quad\Longrightarrow\quad n = \frac{a\,h_4}{\lambda_i\,D}
inteiro. Para \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 obtém-se n\approx1{,}67, 2{,}82 e 3{,}56, respectivamente, não inteiros. Logo não é um máximo superior das linhas anteriores.

Passo 5

Concluímos que h_4 corresponde a um quarto comprimento de onda. Calculamos
\lambda_4 = \frac{a\,h_4}{4\,D} = \frac{3{,}0\times10^{-4}\times7{,}5\times10^{-3}}{4\cdot2} =2{,}81\times10^{-7}\,\mathrm{m}=281\\ \mathrm{nm}.

Resposta

(a) \lambda_1=675\\ \mathrm{nm}, \lambda_2=399\\ \mathrm{nm}, \lambda_3=316\\ \mathrm{nm}.
(b) É um novo comprimento de onda, \lambda_4=281\\ \mathrm{nm}.

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