Questão 2) A intensidade da radiação solar decai com a distância r do Sol conforme a lei inversa do quadrado:
I(r)=I_{0}\left(\frac{r_{0}}{r}\right)^{2}
com I_{0}=1361 \frac{\mathrm{~W}}{\mathrm{~m}^{2}} ; e r_{0}=1 \mathrm{UA}\left(\right. aproximadamante \left.r_{0}=1,5 \cdot 10^{11} \mathrm{~m}\right).
Uma jovem criou uma nave com uma vela solar perfeitamente reflexiva que possui área A=10^{5} \mathrm{~m}^{2} e massa \mathrm{m}=10^{4} \mathrm{~kg}.
a) Determine a aceleração inicial da nave quando ela se encontra próxima à terra (1 UA do Sol).
b) Se a nave se deslocar para marte (1,5 \mathrm{UA}), qual a aceleração media do percurso? Calcule a duração a partir da aceleração média da viagem e argumente sobre a viabilidade da tecnologia para fins de viagens entre os planetas.?

Passo 1

O enunciado apresenta a lei inversa do quadrado para a intensidade da radiação solar
I(r)=I_{0}\Bigl(\frac{r_{0}}{r}\Bigr)^{2}
com I_{0}=1361\\ \mathrm{W/m^{2}} em r_{0}=1 UA ( 1,5\times10^{11} m). Temos uma vela solar perfeitamente reflexiva de área A=10^{5} m^{2} e massa m=10^{4} kg.
Conteúdo: radiação solar, pressão de radiação, força e aceleração. Usaremos
P(r)=\frac{2\,I(r)}{c},
F(r)=P(r)\,A,
a(r)=\frac{F(r)}{m},
onde c=3{,}0\times10^{8} m/s.

Passo 2

Cálculo da aceleração inicial em r=r_{0}:
A pressão em r_{0} é
P(r_{0})=\frac{2\,I_{0}}{c}.
Logo a força sobre a vela é
F(r_{0})=P(r_{0})\,A=\frac{2\,I_{0}\,A}{c}.
E a aceleração inicial vale
a_{0}=\frac{F(r_{0})}{m} =\frac{2\,I_{0}\,A}{c\,m} =\frac{2\cdot1361\cdot10^{5}}{3{,}0\times10^{8}\cdot10^{4}}\\ \mathrm{m/s^{2}} \approx9{,}1\times10^{-5}\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 3

A aceleração a \,r=1{,}5\,r_{0} decai como 1/r^{2}:
a(1{,}5\,r_{0}) =\frac{a_{0}}{(1{,}5)^{2}} =\frac{9{,}1\times10^{-5}}{2{,}25} \approx4{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
A aceleração média no percurso aproximamos por
\bar a =\frac{a_{0}+a(1{,}5\,r_{0})}{2} =\frac{9{,}1\times10^{-5}+4{,}0\times10^{-5}}{2} \approx6{,}6\times10^{-5}\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 4

Para cobrir a distância \Delta r=(1{,}5-1)\,r_{0}=0{,}5\times1{,}5\times10^{11}=7{,}5\times10^{10} m com aceleração constante \bar a, usamos
\Delta r=\tfrac12\,\bar a\,t^{2} \quad\Longrightarrow\quad t=\sqrt{\frac{2\,\Delta r}{\bar a}} =\sqrt{\frac{2\cdot7{,}5\times10^{10}}{6{,}6\times10^{-5}}} \approx4{,}8\times10^{7}\\ \mathrm{s} \approx1{,}5\\ \text{anos}.
Esse tempo de viagem de cerca de um ano e meio mostra que, embora a propulsão seja contínua e sem combustível, a aceleração muito baixa torna a vela solar lenta para viagens interplanetárias rápidas.

Resposta

a) a_{0}\approx9{,}1\times10^{-5}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
b) A aceleração média é \bar a\approx6{,}6\times10^{-5}\\ \mathrm{m/s^{2}}, resultando em tempo de viagem de aproximadamente 1{,}5 anos. Essa duração indica que a tecnologia de velas solares, apesar de eficiente em não gastar combustível, é pouco viável para viagens rápidas entre planetas.

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