Em ótica, um filme de espessura d é considerado fino para uma onda eletromagnética de comprimento de onda \lambda quando d \sim \lambda. Considere um filme fino de indice de refração n depositado em um substrato de indice de refração n^{\prime}. Seja m \in \mathbb{Z}_{+}.

Mostre que

[ 0,5 pt] a) a condição de interferência construtiva para luz proveniente do ar \left(n_{0}=1,00\right) e que incide normalmente à superficie é
2 n d=\left\{\begin{array}{cc} (m+1 / 2) \lambda, & \text { se } n>n^{\prime} \\\ m \lambda, & \text { se } n<n^{\prime} \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado trata de interferência em filme fino de índice n\) e espessura \(d\) imerso no ar \(\bigl(n_{0}=1\bigr)\) e apoiado num substrato de índice \(n'\). A incidência é normal e queremos achar a condição de interferência construtiva em função de \(d\), de modo a expressá-la como \[2\,n\,d = \begin{cases} \bigl(m + \tfrac12\bigr)\,\lambda, & \text{se }n>n',\\\ m\,\lambda, & \text{se }n<n', \end{cases}
onde m\in\mathbb{Z}_{+}\]. Vamos usar o conceito de diferença de fase óptica entre os dois raios refletidos (o que fica “no topo” do filme e o que reflete na interface inferior) e os possíveis deslocamentos de fase de \(\pi ao refletir em fronteira de maior índice.

Passo 2

Quando um raio entra no filme, viaja até a face inferior e volta, percorrendo duas vezes a espessura d. Na película a velocidade é c/n, logo o número de onda é
k_{\rm filme} \;=\;\frac{2\pi}{\lambda/n} \;=\;\frac{2\pi\,n}{\lambda}\,.
A fase acumulada só pela viagem de ida e volta vale então
\varphi_{\rm óptica} = k_{\rm filme}\,2d = \frac{2\pi\,n}{\lambda}\,2d = \frac{4\pi\,n\,d}{\lambda}\,.ó

Passo 3

Além dessa fase de propagação, cada reflexão pode adicionar 0 ou \pi.
  • Na fronteira ar ( n_{0}=1) \to filme ( n), como 1<n, o raio refletido no topo sofre inversão de fase \pi.
  • Na fronteira filme ( n) \to substrato ( n'):
    • se n<n', ocorre nova inversão de fase \pi;
    • se n>n', não há inversão (fase 0).
      Assim, o deslocamento de fase relativo \varphi_{\rm ref} entre o segundo raio e o primeiro é
\varphi_{\rm ref} = \begin{cases} \pi + \pi = 2\pi\quad\to\;0\pmod{2\pi}, & \text{se }n<n',\\\ \pi + 0 = \pi, & \text{se }n>n'. \end{cases}

Passo 4

Para ter interferência construtiva a contagem total de fase deve ser múltiplo de 2\pi, ou seja
\varphi_{\rm óptica} + \varphi_{\rm ref} = 2\pi\,m,\quad m\in\mathbb{Z}_{+}.ó
Substituindo \varphi_{\rm óptica}=4\pi\,n\,d/\lambdaó e os dois casos de \varphi_{\rm ref}:
  • Se n<n', então \varphi_{\rm ref}=0 e \frac{4\pi\,n\,d}{\lambda} = 2\pi\,m \quad\Longrightarrow\quad 2\,n\,d = m\,\lambda\,.
  • Se n>n', então \varphi_{\rm ref}=\pi e \frac{4\pi\,n\,d}{\lambda} + \pi = 2\pi\,m \quad\Longrightarrow\quad \frac{4\pi\,n\,d}{\lambda} = 2\pi\,m - \pi \quad\Longrightarrow\quad 2\,n\,d = \bigl(m - \tfrac12\bigr)\,\lambda.
Como m é um inteiro positivo, podemos reescrever m-1/2 como m'+1/2 renumerando m\mapsto m'-1. Fica então
2\,n\,d = \bigl(m + \tfrac12\bigr)\,\lambda \quad\text{(se \(n>n'\))}.

Resposta

2\,n\,d = \begin{cases} \bigl(m + \tfrac12\bigr)\,\lambda, & \text{se }n>n',\\\ m\,\lambda, & \text{se }n<n'. \end{cases}

Exercícios relacionados