Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condiçÔes iniciais do PVI, a solução particular.
y^prime+2t y=cos (t)t^2 ; t>0 y(pi)=0

Passo 1

O problema pede para resolver a EDO de primeira ordem
y' + 2t,y = cos(t)t^2, t>0,
usando o método do fator integrante, e depois impor a condição inicial y(pi)=0.

Passo 2

Colocamos a equação no formato padrão
y' + p(t),y = q(t),
identificando
p(t) = 2t, q(t) = cos(t)t^2

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(t) = exp!l(integral p(t),dtr) = exp!l(integral 2t,dtr) = expl(2ln tr) = t^2

Passo 4

Multiplicamos a EDO por mu(t):
t^2y' + 2t,y = cos(t)
Repare que o lado esquerdo é exatamente (t^2y)'. Logo
(t^2y)' = cos(t)
Integrando em t:
t^2y = integral cos(t),dt = sin(t) + C
Assim, a solução geral é
y(t) = sin(t) + Ct^2

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(pi)=0:
0 = y(pi) = sin(pi) + Cpi^2 = 0 + Cpi^2 ;Longrightarrow; C = 0

Resposta

Solução geral:
y(t) = sin(t) + Ct^2
Solução particular com y(pi)=0:
y(t) = sin(t)t^2

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