QUESTÃO 3: Um capacitor de placas planas e paralelas de área A e separação d possui uma ddp entre suas placas de \mathrm{V}_{0}. Ele está desconectado da bateria. Um dielétrico de constante dielétrica k , espessura d e área \mathrm{A} / 2 é inserido entre as placas do capacitor conforme mostra a figura. Determine a nova capacitância do sistema sabendo que \mathrm{A}=10 \mathrm{~mm}^{2}, \mathrm{~d}=2,0 \mathrm{~mm} e \mathrm{k}=2,5.

Passo 1

O enunciado descreve um capacitor de placas paralelas, separação d, área total A e inicialmente isolado (desconectado de bateria). Insere-se um bloco dielétrico de constante \,k, mesma espessura d, mas ocupando metade da área ( A/2). O conteúdo aqui é reconhecer que as regiões com e sem dielétrico ficam lado a lado e se comportam como dois capacitores em paralelo; a capacitância equivalente é a soma das duas.

Passo 2

Dividimos o sistema em dois capacitores paralelos:
  • Capacitor 1 (região com dielétrico): área A_1 = A/2, espessura d, constante dielétrica k.
  • Capacitor 2 (região sem dielétrico): área A_2 = A/2, espessura d, constante dielétrica 1 (vácuo/ar).

Passo 3

Para cada região usamos a fórmula da capacitância de placas paralelas:
C = \frac{\varepsilon_0\,\varepsilon_r\,A}{d}\,,
onde \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo e \varepsilon_r é a constante dielétrica ( k ou 1).

Passo 4

Calculamos
C_1 = \frac{\varepsilon_0\,k\,(A/2)}{d}, \qquad C_2 = \frac{\varepsilon_0\,(1)\,(A/2)}{d}.

Passo 5

Como estão em paralelo, a capacitância total é
C_{\text{eq}} = C_1 + C_2 = \frac{\varepsilon_0 A}{2d}\,(k+1).

Passo 6

Substituímos os valores numéricos (converter unidades para o SI):
\varepsilon_0 = 8{,}85\times10^{-12}\,\mathrm{F/m},
A = 10\,\mathrm{mm}^2 = 10\times10^{-6}\,\mathrm{m}^2,
d = 2{,}0\,\mathrm{mm} = 2{,}0\times10^{-3}\,\mathrm{m},
k = 2{,}5.

Passo 7

C_{\text{eq}} = \frac{8{,}85\times10^{-12}\times(10\times10^{-6})}{2\times(2{,}0\times10^{-3})}\,(2{,}5+1) = 4{,}425\times10^{-14}\times 3{,}5 = 1{,}54875\times10^{-13}\,\mathrm{F}
Observação: como 3{,}5/2=1{,}75, pode-se também calcular
4{,}425\times10^{-14}\times1{,}75 =7{,}74375\times10^{-14}\,\mathrm{F}.

Resposta

C_{\text{eq}}\approx7{,}74\times10^{-14}\,\mathrm{F}.

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