Se |A\rangle=\left[\begin{array}{c}2 \\\\ -3 i \\\\ 1\end{array}\right],|B\rangle=\left[\begin{array}{l}i \\\\ 3 \\\\ 4\end{array}\right] e a=4 i, determine:
b) \langle A \mid B\rangle

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
|A\rangle=\begin{bmatrix}2\\[4pt]-3i\\[4pt]1\end{bmatrix},\qquad |B\rangle=\begin{bmatrix}i\\[4pt]3\\[4pt]4\end{bmatrix},\qquad a=4i.
A parte (b) pede explicitamente calcular
\langle A\mid B\rangle.
Observação: o escalar a=4i foi fornecido no enunciado, mas não é necessário para calcular \langle A\mid B\rangle.]

Passo 2

Primeiro passo conceitual — o que é \langle A|?
Se |A\rangle é um vetor coluna, então \langle A| é o seu conjugado transposto, isto é
\langle A|=(|A\rangle)^\dagger,
onde o símbolo {}^\dagger indica transpor e tomar o conjugado complexo de cada componente. Tomando conjugado das entradas de |A\rangle:
\overline{2}=2,\qquad \overline{-3i}=3i,\qquad \overline{1}=1.
Portanto
\langle A|=\begin{bmatrix}2 & 3i & 1\end{bmatrix}.

Passo 3

Fórmula do produto interno (bra–ket) usada aqui: para vetores de dimensão 3
\langle A\mid B\rangle=\sum_{j=1}^{3}\overline{A_j}\,B_j
onde \overline{A_j} é o conjugado complexo da j-ésima componente de |A\rangle e B_j é a j-ésima componente de |B\rangle. Em palavras: multiplica-se componente a componente (usando o conjugado de A) e soma-se tudo.

Passo 4

Agora substituímos os componentes concretos. As componentes são (peguei esses números do enunciado):
\overline{A_1}=2,\quad \overline{A_2}=3i,\quad \overline{A_3}=1,
B_1=i,\quad B_2=3,\quad B_3=4.
Calculando cada termo:
\overline{A_1}B_1=2\cdot i=2i,
\overline{A_2}B_2=(3i)\cdot 3=9i,
\overline{A_3}B_3=1\cdot 4=4.

Passo 5

Somando os termos:
\langle A\mid B\rangle=2i+9i+4=11i+4.
Podemos escrever em ordem padrão (parte real primeiro):
\langle A\mid B\rangle=4+11i.

Resposta

\,4+11i

Exercícios relacionados