Use o Teste da Série Alternada para determinar se as séries a seguir são convergentes ou divergentes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usar o Teste da Série Alternada para descobrir se a série
converge ou diverge. Vamos precisar entender como funciona esse teste e aplicar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos alternados da série. No nosso caso, temos
que faz a série alternar entre positivo e negativo. O próximo passo é definir
, que é a parte não alternada da nossa série. Aqui,
.
Passo 3
Agora, vamos verificar duas condições do Teste da Série Alternada:
- Se
é decrescente: Precisamos ver se, conforme aumenta, diminui. - Se o limite de
é zero: Calculamos .
Passo 4
Vamos calcular o limite de
:
Esse limite é
, que não é zero.
Passo 5
Como o limite de
não é zero, o Teste da Série Alternada já nos diz que a série diverge, independentemente de
ser decrescente ou não.
Resposta
A série
diverge pelo Teste da Série Alternada, já que o limite dos termos não é zero.