Use o Teste da Série Alternada para determinar se as séries a seguir são convergentes ou divergentes.
sumn=1^infty (-1)^n 3 n4 n-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usar o Teste da Série Alternada para descobrir se a série sumn=1^infty (-1)^n 3 n4 n-1 converge ou diverge. Vamos precisar entender como funciona esse teste e aplicar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos alternados da série. No nosso caso, temos (-1)^n que faz a série alternar entre positivo e negativo. O próximo passo é definir bn, que é a parte não alternada da nossa série. Aqui, bn = 3n4n - 1.

Passo 3

Agora, vamos verificar duas condições do Teste da Série Alternada:
  1. Se bn é decrescente: Precisamos ver se, conforme n aumenta, bn diminui.
  2. Se o limite de bn é zero: Calculamos limn to infty bn.

Passo 4

Vamos calcular o limite de bn:
limn to infty 3n4n - 1 = limn to infty 34 - 1n = 34
Esse limite é 34, que não é zero.

Passo 5

Como o limite de bn não é zero, o Teste da Série Alternada já nos diz que a série diverge, independentemente de bn ser decrescente ou não.

Resposta

A série sumn=1^infty (-1)^n 3 n4 n-1 diverge pelo Teste da Série Alternada, já que o limite dos termos não é zero.

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