Ouestão 02: (1,0)
Seja,
I=integral0^3 e^x cdot sen 2 x cdot d x
Calcule uma aproximação para I usando a Regra de Trapézios Repetida, com 3 intervalos;

Passo 1

Então, temos que calcular a integral definida I = integral0^3 e^x cdot sin(2x) , dx . A matéria envolve Cálculo Integral, mais especificamente a Regra de Trapézios Repetida. Para resolver isso, vamos dividir o intervalo de integração em 3 partes iguais e aplicar a Regra dos Trapézios para aproximar o valor dessa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração. O intervalo vai de a = 0 até b = 3 . Como vamos usar 3 intervalos, o tamanho de cada subintervalo ( h ) é calculado por:
h = b - an = 3 - 03 = 1

Passo 3

Agora, vamos determinar os pontos onde vamos avaliar a função. Esses pontos são:
x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3

Passo 4

Em seguida, precisamos calcular o valor da função f(x) = e^x cdot sin(2x) em cada um desses pontos:
f(x0) = e^0 cdot sin(0) = 1 cdot 0 = 0
f(x1) = e^1 cdot sin(2) approx e cdot 0.9093 approx 2.7183 cdot 0.9093 approx 2.468
f(x2) = e^2 cdot sin(4) approx 7.3891 cdot (-0.7568) approx -5.597
f(x3) = e^3 cdot sin(6) approx 20.0855 cdot (-0.2794) approx -5.611

Passo 5

Agora, vamos aplicar a Regra dos Trapézios Repetida, que é dada por:
I approx h2 [f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + f(x3)]
Substituindo os valores que encontramos:
I approx 12 [0 + 2(2.468) + 2(-5.597) + (-5.611)]

Passo 6

Vamos calcular passo a passo:
I approx 12 [0 + 4.936 - 11.194 - 5.611] = 12 [-11.869] = -5.9345

Resposta

A aproximação do valor da integral I usando a Regra de Trapézios Repetida com 3 intervalos é aproximadamente -5.9345.

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