Ouestão 02: (1,0)
Seja,
I=integral0^3 e^x cdot sen 2 x cdot d x
Calcule uma aproximação para I usando a Regra de Simpson Repetida (Composta), com 3 intervalos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O nosso exercício pede para calcular uma aproximação da integral
I = integral0^3 e^x cdot sin(2x) , dx
usando a Regra de Simpson Repetida (ou Composta) com 3 intervalos. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente de técnicas de integração numérica. Para resolver, vamos precisar entender como funciona a Regra de Simpson e como aplicá-la passo a passo.

Passo 2

Primeiro, precisamos dividir o intervalo de integração, que vai de 0 a 3, em 3 subintervalos iguais. Isso significa que vamos ter n = 3 intervalos. A largura de cada subintervalo, chamada de h , é calculada por:
h = b - an = 3 - 03 = 1
Então, os pontos onde vamos avaliar a função são:
x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor da função f(x) = e^x cdot sin(2x) em cada um desses pontos:
f(x0) = e^0 cdot sin(0) = 1 cdot 0 = 0
f(x1) = e^1 cdot sin(2) approx e cdot 0.9093 approx 2.4705
f(x2) = e^2 cdot sin(4) approx e^2 cdot (-0.7568) approx -7.4350
f(x3) = e^3 cdot sin(6) approx e^3 cdot (-0.2794) approx -5.6242

Passo 4

Com esses valores em mãos, aplicamos a Regra de Simpson Composta, que é dada por:
I approx h3 [ f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + f(x3) ]
Substituindo os valores que calculamos:
I approx 13 [ 0 + 4(2.4705) + 2(-7.4350) + (-5.6242) ]

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
I approx 13 [ 0 + 9.8820 - 14.8700 - 5.6242 ]
I approx 13 [ -10.6122 ]
I approx -3.5374

Resposta

A aproximação para a integral I usando a Regra de Simpson Repetida com 3 intervalos é aproximadamente -3.5374.

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