Ouestão 03: (1,0)
Seja,
I=integral2^10 e^2 x cdot ln x cdot d x
Calcule uma aproximação para I usando a Regra de Simpson Repetida (Composta), com 4 intervalos.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos que calcular a integral definida:
I = integral2^10 e^2x cdot ln x , dx
O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de integrais definidas usando a Regra de Simpson Repetida (ou Composta). Para resolver isso, precisamos dividir o intervalo de integração em partes iguais, aplicar a fórmula de Simpson em cada subintervalo e somar os resultados para obter uma aproximação da integral.

Passo 2

A Regra de Simpson Repetida exige que o número de intervalos seja par. No nosso caso, temos 4 intervalos. Vamos calcular a largura de cada intervalo ( h) usando a fórmula:
h = b - an
Onde:
  • a = 2 (limite inferior)
  • b = 10 (limite superior)
  • n = 4 (número de intervalos)
Substituindo os valores:
h = 10 - 24 = 84 = 2

Passo 3

Agora, precisamos determinar os pontos de avaliação ( xi) no intervalo de integração. Eles são calculados adicionando h sucessivamente a partir de a:
x0 = 2
x1 = x0 + h = 2 + 2 = 4
x2 = x1 + h = 4 + 2 = 6
x3 = x2 + h = 6 + 2 = 8
x4 = x3 + h = 8 + 2 = 10
Então, os pontos são: 2, 4, 6, 8, 10.

Passo 4

Agora, vamos calcular os valores da função f(x) = e^2x cdot ln x em cada um desses pontos:
f(x0) = e^2 cdot 2 cdot ln 2 = e^4 cdot ln 2
f(x1) = e^2 cdot 4 cdot ln 4 = e^8 cdot ln 4
f(x2) = e^2 cdot 6 cdot ln 6 = e^12 cdot ln 6
f(x3) = e^2 cdot 8 cdot ln 8 = e^16 cdot ln 8
f(x4) = e^2 cdot 10 cdot ln 10 = e^20 cdot ln 10

Passo 5

A Regra de Simpson Repetida para n = 4 intervalos é dada por:
I approx h3 [ f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + f(x4) ]
Substituindo os valores que calculamos:
I approx 23 [ e^4 ln 2 + 4e^8 ln 4 + 2e^12 ln 6 + 4e^16 ln 8 + e^20 ln 10 ]

Resposta

A aproximação para a integral I usando a Regra de Simpson Repetida com 4 intervalos é:
I approx 23 [ e^4 ln 2 + 4e^8 ln 4 + 2e^12 ln 6 + 4e^16 ln 8 + e^20 ln 10 ]

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