Ouestão 03: (1,0)
Seja,
I=integral2^10 e^2 x cdot ln x cdot d x
Calcule uma aproximação para I usando a Regra de Trapézios Repetida, com 4 intervalos;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve calcular uma integral definida usando a Regra dos Trapézios Repetida. O enunciado pede para aproximar a integral
I = integral2^10 e^2x cdot ln x , dx
usando 4 intervalos. Para isso, vamos precisar entender como funciona a Regra dos Trapézios e aplicar as fórmulas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração e o número de intervalos. Aqui, a integral vai de a = 2 até b = 10 , e vamos dividir esse intervalo em n = 4 partes iguais.

Passo 3

Vamos calcular o tamanho de cada intervalo, chamado de h . A fórmula para isso é:
h = b - an = 10 - 24 = 2
Então, cada intervalo tem comprimento 2.

Passo 4

Agora, vamos determinar os pontos onde vamos avaliar a função f(x) = e^2x cdot ln x . Esses pontos são chamados de nós e são calculados adicionando h a partir de a :
x0 = 2, x1 = 4, x2 = 6, x3 = 8, x4 = 10

Passo 5

Em seguida, calculamos o valor da função f(x) em cada um desses pontos:
f(x0) &= e^2 cdot 2 cdot ln 2 = e^4 cdot ln 2 f(x1) &= e^2 cdot 4 cdot ln 4 = e^8 cdot ln 4 f(x2) &= e^2 cdot 6 cdot ln 6 = e^12 cdot ln 6 f(x3) &= e^2 cdot 8 cdot ln 8 = e^16 cdot ln 8 f(x4) &= e^2 cdot 10 cdot ln 10 = e^20 cdot ln 10

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula da Regra dos Trapézios Repetida para n intervalos:
I approx h2 [ f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + 2f(x3) + f(x4) ]
Substituindo os valores que temos:
I approx 22 [ e^4 ln 2 + 2e^8 ln 4 + 2e^12 ln 6 + 2e^16 ln 8 + e^20 ln 10 ]
Simplificando:
I approx e^4 ln 2 + 2e^8 ln 4 + 2e^12 ln 6 + 2e^16 ln 8 + e^20 ln 10

Resposta

A aproximação para a integral I usando a Regra dos Trapézios Repetida com 4 intervalos é:
I approx e^4 ln 2 + 2e^8 ln 4 + 2e^12 ln 6 + 2e^16 ln 8 + e^20 ln 10

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