Ouestão 16. Identifique o tipo de indeterminação e calcule os limites (diversos):
lim x 0 -5 x^3+sen^5(x)6 x^3

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto0-5x^3+sin^5(x)6x^3
e que identifiquemos o tipo de indeterminação. Para resolver isso, vamos usar a expansão em série de Taylor de sin(x) em torno de 0.

Passo 2

Substituindo x=0 no numerador e no denominador obtemos
-5cdot0^3+sin^5(0)6cdot0^3=0+00= 00,
logo é uma indeterminação do tipo tfrac00.

Passo 3

Expandimos sin(x) em série até a ordem necessária:
sin(x)=x - x^36+O(x^5)
Elevando à quinta potência,
sin^5(x)=l(x - tfracx^36+O(x^5)r)^5=x^5+O(x^7)
Então o numerador fica
-5x^3+sin^5(x)=-5x^3+x^5+O(x^7) =x^3l(-5 + x^2+O(x^4)r)

Passo 4

Dividindo pelo denominador 6x^3 temos
-5x^3+sin^5(x)6x^3 =x^3l(-5 + x^2+O(x^4)r)6x^3 =-5 + x^2+O(x^4)6
Fazendo xto0, isso tende a -tfrac56.

Resposta

Tipo de indeterminação: tfrac00.
limxto0-5x^3+sin^5(x)6x^3=-56

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